Bonjour, je suis actuellement en première année de classe préparatoire et ait des difficultés à faire mon DM de mathématiques qui mélange les chapitres suivants: suites/fonctions/continuité/dérivées

Exercice 1.
Partie A: Etude d'une fonction
On considère la fonction définie sur ]0; 1[ par :
f :x→ ln(1−x) /ln(x)
1. Montrer que f est dérivable sur ]0; 1[ et que l'on a :
∀x ∈]0; 1[, f′(x) = 1/ (x(x − 1)(ln(x))^2) * (−xln(x) − (1 − x)ln(1 − x))
2. Justifier que :∀t ∈]0; 1[, tln(t) < 0 .
3. En déduire que la fonction f est strictement croissante sur ]0; 1[
4. Montrer que la fonction f est prolongeable par continuité en 0 .On notera f ̃ la fonction ainsi prolongée en 0. Préciser f(0)
5. Montrer que f ̃ est dérivable en 0 (à droite en fait) .
6. Calculer la limite de f en 1 . Que peut-on en déduire pour la courbe représentative de f ?
7. Tracer enfin la courbe représentative de f en faisant apparaitre la tangente en 0 .

Partie B : Etude d'une suite
On note, pour tout n ∈ N∗; (En) l'équation : x^n + x − 1 = 0 .
8. Soit n∈N*.Etudier les variations surR+, de la fonction g:x→x^n+x−1.
9. En déduire que l'équation (En) admet une unique solution sur R+que l'on notera un.
10. Montrer que pour tout entier naturel n non nul, un appartient à l'intervalle ]0;1[ .
11. Déterminer u1et u2.
12. Montrer que, pour tout n ∈ N*,f(un) = n .
13. En déduire que la suite (un)n∈N∗ est croissante.
14. Montrer enfin que la suite (un)n∈N∗ est convergente et déterminer sa limite.

Voici mon sujet.

Pour la partie A, j'ai réussi à faire les questions 1/2/3/4/6
J'ai cependant des difficultés à la question 5, je sais qu'il faut regarder la limite du taux d'accroissement de la fonction f ̃ en 0 mais je trouve ln(1-x)/ln(x)*1/x donc une FI et ne voit pas comment je pourrais la contourner.
J'ai aussi un problème à la question 7 car j'ai réussi à tracer la courbe représentative de f mais ne voit pas comment je pourrait faire apparaitre sa tangente en 0 puisqu'elle n'est pas définie en ce point.

Pour le partie B, j'ai réussi à faire les questions 8 est 9.
mais j'ai beaucoup de mal avec la suite des questions.
Tout d'abord pour la 10, d'après l'intitulé de la question j'aurais tendance à vouloir faire une récurrence mais je ne vois pas comment cela est possible.
Pour la question 11, grâce à l'équation j'ai réussi à trouver que
u1 = 1/2 mais je n'arrive pas à trouver u2.
Pour la question 12, il faut faire une récurrence mais je n'ai absolument aucune idée de comment il faut procéder et cela me bloque pour répondre aux deux dernières questions.

Voila les points ou j'ai des difficultés, si vous pouviez m'indiquer les démarches à suivre pour pouvoir continuer mon DM je vous en serais très reconnaissante.
Merci par avance,
Cordialement,
Manon le gendre