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Fonctions exponentielle et courbes

Posté par
Nell21
12-05-22 à 09:55

Bonjour, j'aimerais de l'aide pour résoudre la 3 ème question de mon DM de maths s'il vous plaît.
Énoncé :
On considère les fonctions f et g définies sur ? par f(x) = e^(2x) et
g(x) = e^(-x) . On a tracé ci-contre les courbes Cf et Cg. ( Image ci-joint)

1. Quelle conjecture peut-on faire quant à la position relative
des courbes Cf et Cg ?

2. Démontrer que le point de coordonnées (0 ; 1) est un point
d'intersection des deux courbes.

3. Pour tout réel x, on note d(x) = f(x) - g(x).
a. Montrer que pour tout réel x,                  
d(x) = e^(- x) (e^(3x)-1).
b. Dresser le tableau de signes de d(x) sur ? .
c. En déduire la position relative des courbes Cf et Cg.

Mes réponses :
1. On peut conjecturer que les courbes Cf et Cg ont un centre de symétrie au point de coordonnées (0;1)

2. Le point de coordonnées (0;1) vérifie les deux équations : f(0)= e^(0) =1
g(0) = e^(0) =1

3. Je ne comprend pas comment obtenir ça, je pense qu'il fait factoriser par e^(-x) mais les parenthèses suivantes je ne vois pas comment les obtenir. Pourriez vous m'aider s'il vous plaît ?

Fonctions exponentielle et courbes

Posté par
malou Webmaster
re : Fonctions exponentielle et courbes 12-05-22 à 10:03

Bonjour

exprime ta différence d(x) = f(x) - g(x).
puis mets tout de suite e^(-x) en facteur
tu vas trouver l'expression donnée dans ton énoncé

Posté par
Nell21
re : Fonctions exponentielle et courbes 12-05-22 à 10:14

Merci, j'ai donc fait ça :
d(x) = f(x) - g(x)
d(x) = e^(2x) - e^(-x)
d(x) = e^(- x) (e^(2x)-1)

Mais on veut d(x) = e^(- x) (e^(3x)-1)

Je ne comprend pas d'où vient le 3x, comment on a pu rajouter un x ?

Posté par
Leile
re : Fonctions exponentielle et courbes 12-05-22 à 10:30

bonjour,
en attendant le retour de malou :

e n+m  =   e n  *  e m    

tu es d'accord avec ça, n'est ce pas ?
e 2x     =    e  -x    *    e ??

Posté par
Leile
re : Fonctions exponentielle et courbes 12-05-22 à 10:36

nb : quand tu auras terminé la question  3, il faudra revenir sur ta réponse à la question 1.

Posté par
Nell21
re : Fonctions exponentielle et courbes 12-05-22 à 10:36

Ah oui d'accord
Donc e^(2x)  =  e ^(-x)    *    e^(3x)

On a alors :
d(x) = f(x) - g(x)
d(x) = e^(2x) - e^(-x)

Comme e^(2x)=  e ^(-x)  *  e^(3x)

d(x) = e^(- x) (e^(3x)-1)
C'est bien ça ?

Posté par
Nell21
re : Fonctions exponentielle et courbes 12-05-22 à 10:37

Ah mince, ma réponse à la question 1 n'est pas correcte ?
Pourtant les courbes ont l'air symétriques à ce centre de coordonnées (0;1) non ?

Posté par
Leile
re : Fonctions exponentielle et courbes 12-05-22 à 10:38

oui, et tu retrouves bien l'énoncé de la question 3.

Posté par
Leile
re : Fonctions exponentielle et courbes 12-05-22 à 10:40

Q1 : Quelle conjecture peut-on faire quant à la position relative
des courbes Cf et Cg ?
"la position relative des deux courbes" :   c'est dire quelle est celle au dessus (resp. en dessous) de l'autre  et sur quel intervalle.

Mais termine d'abord la question 3.

Posté par
Leile
re : Fonctions exponentielle et courbes 12-05-22 à 11:07

tu ne réponds plus. Je m'absente.

Posté par
Nell21
re : Fonctions exponentielle et courbes 12-05-22 à 11:12

Ah oui d'accord
Alors pour la question 3 :

a) c'est fait

b) e^(-x) > 0 car la fonction exponentielle est strictement positive sur l'ensemble des réels.

e^(3x)-1 > 0 <=> e^(3x) > 1 <=> 3x > 0 <=> x>0
e^(3x)-1 > 0 lorsque x > 0

On a alors le tableau de signe suivant : (image jointe)

c) d(x) est alors négative sur l'intervalle ]-infini ; 0[ puis positive sur l'intervalle ]0;+infini[
Comme d(x) = f(x) - g(x), cela signifie que Cf est en dessous de Cg sur l'intervalle  ]-infini ; 0[ puis au dessus de Cg sur l'intervalle  ]0;+infini[


Pour la question 1 :
On peut conjecturer que la courbe Cf est en dessous de la courbe Cg sur l'intervalle  ]-infini ; 0[  et au dessus de la courbe Cg sur l'intervalle  ]0;+infini[

Fonctions exponentielle et courbes

Posté par
Leile
re : Fonctions exponentielle et courbes 12-05-22 à 11:20

OK.

Pour la question 1 : en effet, tu as bien rectifié ta conjecture.

Une chose :
les courbes ont l'air symétriques à ce centre de coordonnées (0;1)
ceci ne veut pas dire grand chose.
"Symétrique à un centre" ne se dit pas.
Si tu parles de centre de symétrie, aucune des deux courbes n'a ce point comme centre de symétrie.
Et (0, 1) n'est pas un centre de symétrie pour la figure.
Tu voulais peut-être parler d'axe de symétrie pour la figure formée par les deux courbes (axe des ordonnées) mais ici, ça n'est pas le cas. ca aurait été vrai avec f(x)= e^x    mais pas avec e^(2x).
OK ?

Posté par
Nell21
re : Fonctions exponentielle et courbes 12-05-22 à 11:26

Ah oui, merci pour cette rectification, j'ai compris.
Merci beaucoup ! Vous m'avez beaucoup aidée, bonne journée !

Posté par
Leile
re : Fonctions exponentielle et courbes 12-05-22 à 12:02

je t'en prie, bonne journée à toi aussi.



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