bonjour,

tu es nouveau sur le site : bienvenue !

tu dois taper ton énoncé ( le début au moins), et dire ce que tu as essayé de faire.
Je t'aiderai volontiers ensuite.

Merci.
D'accord :
On définit sur R les fonctions ch( x ) = (e^x+e^-x)/2 et sh(x) = (e^x-e^-x)/2

1) Etudier les variations de ces deux fonctions.

Je n'ai pas réussi, je ne comprends pas comment on peut obtenir la variation d'une fonction exponentielle.

d'habitude, pour étudier les variations d'une fonction, on étudie le signe de sa dérivée.
as tu essayé ?

Je sais que (e^x)' = e^x, donc :
(e^-x)' = e^-x).
On a donc :
[(e^x+e-^x)*2 - (e^x+e^-x)*0 ] / 2²
C'est bien ça ?

presque !

(e^x)'  =  e^x   on est d'accord
mais
(e^-x)' = - e^-x

ensuite ta formule   (u'v-uv') / v² est mal choisie ici (ou mal appliquée)..
ch(x) =  1/2 ( e^x + e^-x)
tu as une somme de deux fonctions dérivables..

tu reprends ?

Une somme ? Je ne comprends pas

( e^x + e^-x)
c'est bien une somme de deux fonctions, n'est ce pas ?

quand tu dérives     x² + 2x   par exemple, c'est une somme de deux fonctions dérivables.
la dérivée  est alors la somme des dérivées.

Ah oui pardon je n'avais pas compris. Leur dérivé est donc :
e^x + (-e^-x)
C'est bien ça ?

oui, il ne faut pas oublier le /2 ....  

(ch(x))'  =   1/2 ( e^x  -  e^-x)

pour étudier son signe tu regardes si elle s'annule. Vas y !

NB : tu es en 1ère cette année ?

Non elles ne s'annulent pas, donc cela signifie que c'est positif ou négatif ?

Oui, je l'étais déjà l'année dernière mais j'ai redoublé et je n'avais pas très bien compris ce chapitre

e^x    -    e^(-x)  =  0  
factorise :
e^(-x)   (  e^2x   -  1)  = 0

e^(-x) n'est jamais nul
mais  est ce que    (  e^2x   -  1)  = 0    a une solution ?

e^2x - 1 = 0
e^2x = 1
e^2x = e⁰
2x = 0
x = 0

oui, donc la dérivée de ch(x)  s'annule en x=0
tu peux continuer ?

Mais comment connaitre le signe avant le 0 et après ?

ton cours sur la fonction exponentielle t'aiderait grandement !
si x <0 ,
2x   <  0
e^2x < e⁰  (car la fonction exponentielle est strictement croissante)
e^2x < 1  
donc cette dérivée est d'abord négative, puis positive.
rédige le tableau de variation !

J'ai remplacé x dans la dérivée par tout d'abord une valeur négative, puis par une valeur positive. Avec la valeur négative j'ai trouvé un résultat négatif et avec la valeur positive j'ai trouvé un résultat positif. Cela signifie que avant le 0 la courbe est décroissante, et après le 0 elle est croissante.
J'ai bon ?

Merci beaucoup ! Je pense avoir compris

je dois m'absenter.
Je te laisse faire la même chose pour sh(x) :
exprimer la dérivée, trouver son signe (fais attention, ce n'est pas forcément tout pareil que ch(x) ! ) , en déduire les variations de sh(x).
Je reviens dans une heure pour les questions suivantes : tu seras plus à l'aise si tu manipules les puissances facilement.
A tout à l'heure.

où en es tu ?

Voilà ce que j'ai fais pour le moment :
sh(x)' = (e^x + e^-x)/2
e^x + e^-x = 0
e^-x(e^2x +1) = 0
e^2x = -1

Mais d'après ce que je crois comprendre, sh ne s'annule en aucune valeur.
Donc cela voudrait dire que sh est strictement croissant
C'est correct ?

en effet, pour sh(x) :
sa dérivée s'écrit
sh(x)' = (e^x + e^-x)/2
elle s'annule quand  e^x + e^-x = 0
tu sais que la fonction exponentielle est toujours positive ;
la somme de deux trucs positifs est toujours positive, jamais nulle, donc la dérivée ne s'annule jamais, et elle est toujours positive.
ainsi sh(x) est strictement croissante.

Mais d'après ce que je crois comprendre, sh ne s'annule en aucune valeur.   c'est   la dérivée qui ne s'annule pas, pas sh
Donc cela voudrait dire que sh est strictement croissant : oui.

tu as donc répondu à la question 1.

pour la question 2 :
montrer que ch(x) ²   -  sh(x) ²   =  1
tu as commencé ?

Voilà ce que j'ai fais :
[(e^x + e^-x)/2]² - [(e^x - e^-x)/2]²
[(e^2x + 1)/2e^x]² - [(e^2x - 1)/2e^x]²
[(e^4x+2e^2x+1)/4e^2x] - [(e^4x-2e^2x+1)/4e^2x]
(e^4x-e^4x+2e^2x+2e^2x+1-1)/4e^2x = 4e^2x/4e^2x =1

je ne comprends pas pourquoi tu compliques en mettant 2e^x au dénominateur... Ca n'est pas très clair pour moi, même si tu arrives au bon résultat.  

[(e^x + e^-x)/2]² - [(e^x - e^-x)/2]²
= [(e^x + e^-x)²/4] - [(e^x - e^-x)²/4]
=1/4 ( e^2x + e^-2x + 2e^xe^-x - e^2x-e^-2x + 2e^xe^-x)
=1/4 ( 2 e⁰ + 2e⁰)
= 1/4 ( 4)  =  1

pour la question suivante : vas y pas à pas, en gardant des écritures les plus simples possibles.

ch(x) * ch(y) =  ?
sh(x) * sh(y) = ?
fais la somme des deux, et vois si tu retrouves ch(x+y).

J'ai réussi, je ne vais pas tout taper parce que ce serait trop long et inutile, mais j'ai réussi à obtenir ch(x+y).
Je vais essayer l'égalité suivante

ok. Parfait !
Dis moi si tu as d'autres questions.

C'est bon, j'ai réussi. Merci beaucoup pour toute l'aide que vous m'avez apportée  

je t'en prie. Bonne nuit.