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Fonctions harmoniques et noyau de Poisson

Posté par
Saiga 20-01-19 à 17:47

Bonjour,

Je cherche à prouver le résultat suivant :

Soit f\in L^1(\partial D,\mathbb{R}), où D est le disque unité du plan complexe.

Alors la fonction u définie par :

u(z)=\cfrac{1}{2\pi}\times\Re\left( \int_0^{2\pi} \cfrac{e^{i\psi}+z}{e^{i\psi}-z}\times f(e^{i\psi})d\psi \right), pour z\in D\backslash\left\{ e^{i\psi}\right\}

est harmonique sur \partial D.
_______________________________________________________________________________________________

Voici ce que j'ai fait jusqu'à maintenant :

Tout d'abord, on sait que si g est holomorphe, alors sa partie réelle et imaginaire sont harmonique.

Donc il nous suffit de montrer que la fonction z\mapsto \int_0^{2\pi} \cfrac{e^{i\psi}+z}{e^{i\psi}-z}\times f(e^{i\psi})d\psi est holomorphe sur D

Pour cela je souhaite utiliser le théorème d'holomorphie sous l'intégrale :

1) \psi \mapsto \cfrac{e^{i\psi}+z}{e^{i\psi}-z}\times f(e^{i\psi}) est mesurable  sur [0,2\pi], pour tout z\in D\backslash\left\{ e^{i\psi}\right\}.

2) z\mapsto \cfrac{e^{i\psi}+z}{e^{i\psi}-z}\times f(e^{i\psi}) est holomorphe surD\backslash\left\{ e^{i\psi}\right\}, pour tout \psi\in [0,2\pi].

3) Il me reste alors à vérifier l'hypothèse de domination et c'est là que ça se gâte :

Je ne parvient pas à majorer la quantité : \left| \cfrac{e^{i\psi}+z}{e^{i\psi}-z} \right| (le facteur \lvert f(e^{i\psi})\rvert ne posant pas de problème , car il est intégrable par hypothèse).

Posté par
carpediemre : Fonctions harmoniques et noyau de Poisson 20-01-19 à 18:12

salut

qu'est ce que \partial D  ?

Posté par
Saigare : Fonctions harmoniques et noyau de Poisson 20-01-19 à 18:13

Bonsoir carpediem,

il s'agit du cercle unité.

Posté par
Saigare : Fonctions harmoniques et noyau de Poisson 20-01-19 à 18:16

Au passage, cela m'a permis de voir une erreur dans mon énoncé , je veux montrer que u est harmonique non pas sur \partia D mais sur D tout entier.

Posté par
lavachere : Fonctions harmoniques et noyau de Poisson 20-01-19 à 18:29

Citation :
Je ne parvient pas à majorer la quantité : \left| \cfrac{e^{i\psi}+z}{e^{i\psi}-z} \right| (le facteur \lvert f(e^{i\psi})\rvert ne posant pas de problème , car il est intégrable par hypothèse).


Peut on dire :

\left| \cfrac{e^{i\psi}+z}{e^{i\psi}-z} \right|\leq \cfrac{\left|e^{i\psi}+z\right|}{\left|e^{i\psi}-z\right|} \leq \cfrac{\left|e^{i\psi}\right|+\left|z\right|}{\left|e^{i\psi}\right|+\left|z\right|} \leq 1
?

Posté par
Saigare : Fonctions harmoniques et noyau de Poisson 20-01-19 à 18:38

Justement non, puisque \cfrac{|e^{i\psi}+z|}{|e^{i\psi}-z|} \geq \cfrac{|e^{i\psi}+z|}{|e^{i\psi}|+|z|} ...

Posté par
lavachere : Fonctions harmoniques et noyau de Poisson 20-01-19 à 19:19

Effectivement merci! Je me disais bien aussi que ça semblait trop simple

Posté par
etniopalre : Fonctions harmoniques et noyau de Poisson 20-01-19 à 23:52

D  est le disque unité ouvert du plan complexe   et D  sa frontière  ..

Si z est dans D  pour tout t réel on a : |eit  - z| 1 - |z|  .
Pour une minoration uniforme il faut prendre  un réel r dans ]0 , 1[ et les  z dans  BO(O , r)  .
Si f est harmonique dans toutes les BO(O , r)   ( 0 < r < 1) alors elle l'est dans BO(0 , 1) = D .

Posté par
Saigare : Fonctions harmoniques et noyau de Poisson 23-01-19 à 08:50

Bonjour à tous !

Merci etniopal pour ta réponse, j'ai tout compris pour cela.  


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