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Fonctions holomorphes

Posté par
dydy13
09-05-13 à 17:05

Bonjour à tous

Je n'arrive pas du tout à résoudre cet exercice..Pouvez vous m'aider ? Me guider..

Soit f une fonction holomorphe dans un ouvert de contenant le disque unité fermé.
On suppose que f(0) = 1 et que |f(z)| > 1 pour tout z tel que |z| = 1.
Montrer que f n'annule dans le disque unité ={z;|z|<1}

(indication : suopposer le contraire et considérer \frac{1}{f} : \bar{D} -> )

Je pense qu'il faut appliquer le théoréme de Rouché ? Mais je ne suis pas sure..

Merci beaucoup pour votre aide

Dydy

Posté par
Camélia Correcteur
re : Fonctions holomorphes 09-05-13 à 17:13

Bonjour

Je dirais plutôt principe du maximum!

Posté par
dydy13
re : Fonctions holomorphes 09-05-13 à 17:31

Alors voici mon énoncé du principe du maximum :

soit domaine = ouvert connexe
f : -> holomorphe.
Si zo et ro > 0 tq \bar{D(zo,ro)} = et si |f(zo)| = sup|z-zo|<= ro |f(z)|

alors f est constante  

On suppose que f ne s'annule pas sur le disque unité D(0,1).

Je me doute que l'on va construire un raisonnement pour aboutir à une contradiction, mais je n'arrive pas à démarrer..

Dydy

Posté par
Camélia Correcteur
re : Fonctions holomorphes 09-05-13 à 17:34

Tu regardes 1/f et tu utilises les hypothèses...

Posté par
dydy13
re : Fonctions holomorphes 09-05-13 à 17:48

f holomorphe sur le disque fermé , alors 1/f l'est aussi sur le disque ouvert, car on suppose que f ne s'annule pas sur le disque ouvert.

Si |f| > 1 pour |z| = 1

alors |g| = |1/f| < 1 pour |z| = 1

......

Posté par
Camélia Correcteur
re : Fonctions holomorphes 09-05-13 à 17:50

et tu sais que (1/f)(0)=1.

Posté par
dydy13
re : Fonctions holomorphes 09-05-13 à 17:50

Il ne faut pas utiliser le lemme de schwarz aussi ?

Posté par
Camélia Correcteur
re : Fonctions holomorphes 09-05-13 à 17:50

Non... tu as tout ce qu'il faut!

Posté par
dydy13
re : Fonctions holomorphes 09-05-13 à 17:56

Oki !

Donc je récapitule :

f holomorphe sur le disque fermé   , alors 1/f l'est aussi sur le disque ouvert, car on suppose que f ne s'annule pas sur le disque ouvert.

Si |f| > 1 pour |z| = 1

alors |g| = |\frac{1}{f(z)}| < 1 pour |z| = 1

et de plus, f(0) = 1, donc g(0) = \frac{1}{f(0)} = 1

donc d'après le principe du maximum, g est constante dans le disque ouvert.

Ie : \frac{1}{f(z)} = C , C une constante, dans le disque ouvert.

alors f(z) = \frac{1}{C} et f'(z) = 0, donc ..

Posté par
Camélia Correcteur
re : Fonctions holomorphes 09-05-13 à 18:07

Donc f serait constante sur le disque ouvert, donc aussi sur le disque fermé. mais c'est impossible, puisque f(0)=1 et |f(z)| > 1 sur le bord du disque.

Posté par
dydy13
re : Fonctions holomorphes 09-05-13 à 18:12

Je ne comprends pas pourquoi si est constante sur le disque ouvert alors elle le serait sur le disque fermé..

Posté par
dydy13
re : Fonctions holomorphes 09-05-13 à 18:15

en fait j'ai du mal à saisir la contradiction..

Posté par
dydy13
re : Fonctions holomorphes 09-05-13 à 21:25

up

Posté par
boninmi
re : Fonctions holomorphes 09-05-13 à 21:47

Citation :
Je ne comprends pas pourquoi si est constante sur le disque ouvert alors elle le serait sur le disque fermé..

Par continuité.

Posté par
dydy13
re : Fonctions holomorphes 09-05-13 à 21:53

ah ! C'est parce que comme f est holomorphe alors elle est continue, mais, je ne comprends pas beaucoup pourquoi aussi, parce que elle est constante juste à l'intérieur du disque, pas sur la frontiére...

Je suis désolée mais je ne comprends vraiment pas ça me bloque

Posté par
Camélia Correcteur
re : Fonctions holomorphes 10-05-13 à 14:11

Mais tu savais depuis le début qu'elle est holomorphe sur un ouvert contenant le disque fermé! Donc elle est continue sur un ouvert plus grand que le disque fermé!

par ailleurs, tu as du voir qu'une fonction holomorphe définie sur un ouvert connexe et constante sur un "petit" disque est constante sur tout l'ouvert.

Posté par
dydy13
re : Fonctions holomorphes 10-05-13 à 15:13

Donc, avec le raisonnement, on en tire que f est constante sur le disque fermé, mais ce'est impossible car sur le bord du disque |f(z)| > 1

ma question est peut être béte mais en quoi le module de f > 1 peut montrer que f n'est pas constante

Posté par
Camélia Correcteur
re : Fonctions holomorphes 10-05-13 à 15:18

parce que tu avais f(0)=1, donc si elle est constante elle vaut 1 partout!

Posté par
dydy13
re : Fonctions holomorphes 10-05-13 à 15:19

ah d'accord...et bien merci..

Posté par
dydy13
re : Fonctions holomorphes 10-05-13 à 15:24

Mais attendez une petit précision, si elle vaut f(0)=1 sur le bord du disque, nous on a vu qu'elle vaut 1/C partout sur , si C = 1 ça marcherait

Posté par
dydy13
re : Fonctions holomorphes 10-05-13 à 15:31

Pourquoi elle ne pourrait pas valoir 1 partout sur en fait ? Puisque on se sait rien de f sur oméga hors du disque :s

Posté par
Camélia Correcteur
re : Fonctions holomorphes 10-05-13 à 15:40

0 n'est pas sur le bord du disque! Et si on avait f(z)=1 pour |z| =1, on n'aurait pas |f(z)| > 1.

Posté par
dydy13
re : Fonctions holomorphes 10-05-13 à 15:45

C'est bon j'ai tout compris !! Merci beaucoup Camélia

Posté par
louetcharles
re : Fonctions holomorphes 15-04-21 à 22:44

Bonsoir ,

Je reprends ce post qui est super interessant car j'ai un exercice un peu du même style
mais f holomorphe appartient à l'espace de Hardy H infini du disque unité

Cet espace est celui des fonctions holomorphes bornées du disque unité : IIfII <=1

On nous dit  ensuite que f(0)=1/4

On doit montrer que f a au plus un seul  zéro dans le disque D(O;1/2)

Comment dois je m'y prendre s'il vous plaît?

Posté par
Camélia Correcteur
re : Fonctions holomorphes 16-04-21 à 14:48

Bonjour

Essaye d'appliquer le théorème de Rouché.

Posté par
louetcharles
re : Fonctions holomorphes 16-04-21 à 20:42

Bonsoir Camélia ,

Oui j'y  ai pensé mais le théorème de Rouché utilise une deuxième fonction g et s' interesse au module de f(z)-g(z) . Comment trouver cette 2ème fonction g ?

Posté par
Camélia Correcteur
re : Fonctions holomorphes 17-04-21 à 14:36

Supposons que f s'annule dans le disque D(0;1/2). Rouché sur ce disque avec f et g(z)=z



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