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fonctions holomorphes

Posté par
louetcharles
04-04-21 à 23:58

Bonsoir ,

J'ai cet exercice et je n'arrive pas à commencer:

   Soit f fonction holomorphe sur C+ ={z complexes tels que Im(z)>0}

             f est telle que   \left|f(re^{i\theta }) \right|\leq exp (r sin^{2}(2\theta ))

             r e^{i\theta }\in C+

Montrer que \left|f(1+i) \right|\leq 1

Merci beaucoup

Posté par
LeHibou
re : fonctions holomorphes 05-04-21 à 09:20

Bonjour,

Il te suffit de trouver le r et le   tels que r*ei = 1+i, et de les reporter dans le terme de droite.

Et que signifie ?
Il n'y a pas de relation d'ordre de ce genre sur

Posté par
LeHibou
re : fonctions holomorphes 05-04-21 à 09:26

Ceci dit, il y a quelque chose d'étrange, c'est que pour r > 0, ce qui est le cas, on a toujours rsin²(2)) 0 donc  exp(rsin²(2)) 1
Es-tu certain de ton énoncé ?

Posté par
LeHibou
re : fonctions holomorphes 05-04-21 à 10:18

En fait, c'est mal dit, on a toujours r 0 et donc exp(rsin²(2)) 1

Posté par
louetcharles
re : fonctions holomorphes 05-04-21 à 11:31

Merci leHibou ,

C' est ce que j'ai fait au départ mais là on est dans un cours d' Analyse : Fonctions holomorphes , espaces de Hardy , produits de Blaschke etc....

Un niveau très avancé en Analyse je crois .
À tout hasard j' essayais de trouver quelqu'un qui aurait déjà vu cela

Posté par
LeHibou
re : fonctions holomorphes 05-04-21 à 11:39

J'espère que quelqu'un va répondre, ça m'intéresse

Posté par
louetcharles
re : fonctions holomorphes 05-04-21 à 11:47

Merci de t' intéresser à mon exercice !

Posté par
GBZM
re : fonctions holomorphes 05-04-21 à 14:29

Bonjour,

Ça ressemble fortement à du Phragmén-Lindelöf . Peut-être l'appliquer sur le premier quadrant ?

Posté par
louetcharles
re : fonctions holomorphes 05-04-21 à 14:35

Bonjour GBZM !

C'est dans le chapitre " Fonctions holomorphes , espaces de Hardy etc..."

Posté par
Ulmiere
re : fonctions holomorphes 05-04-21 à 14:35

L'inégalité donne un majorant e^{\sqrt{2}}, insuffisant pour conclure, mais ça suffit pour dire que f est H^\infty(C_+). Mais ici, rien à voir.

f est holomorphe sur C_+ et (1+i)\in C_+ qui est un ouvert. Pour tout r > 0 tel que D(1+i,r)\subseteq C_+, la formule de Cauchy dit :

2i\pi f(1+i) = \int_\gamma \dfrac{f(\lambda)}{\lambda-(1+i)}d\lambda = \int_0^{2\pi} \dfrac{f(1+i+re^{i\theta})}{re^{i\theta}}rie^{i\theta}d\theta = i\int_0^{2\pi} f(1+i+re^{i\theta})d\theta


of 1+i+r\cos\theta + ir\sin\theta = 1+r\cos\theta  +  i(1+r\sin\theta) est de partie imaginaire strictement positive pour presque tout \theta de [0,2\pi]. Donc, en prenant le module et en conséquence de l'inégalité triangulaire :


2\pi |f(1+i)| \leqslant \int_0^{2\pi} |f(1+i+re^{i\theta})|d\theta \leqslant 2\pi d'où le résultat.

Posté par
Ulmiere
re : fonctions holomorphes 05-04-21 à 14:37

Euh pardon, petite erreur, il faut écrire 1+i+re^{i\theta} sous forme r'e^{i\theta'} avec r>0\textrm{ et }\sin\theta' > 0, puis intégrer.

Posté par
louetcharles
re : fonctions holomorphes 05-04-21 à 14:41

Merci Ulmière

Je vais regarder cela

Je découvre ces chapitres que je trouve difficiles

Posté par
Ulmiere
re : fonctions holomorphes 05-04-21 à 14:46

C'est calculatoire par contre, il faut étudier le signe presque partout de f(x) = sin(arctan((1+sin(x))/(1+cos(x)))), qui est positive parce que sin(arctan(y)) = y/sqrt(y²+1) au signe près, mais le signes est toujours positif parce que (1+sin)/(1+cos) est elle-même positive (strictement) presque partout.

Ensuite il faut intégrer tout ça, et une fois le calcul fait, faire tendre r vers 0
C'est ignoble, disons le franchement

Posté par
louetcharles
re : fonctions holomorphes 06-04-21 à 21:58

Merci à toi Ulmière pour tous tes calculs mais beaucoup de gens me disent qu'il faut appliquer le principe cité par GBZM : Phragmen-Lindelöf  que j'ai trouvé sur Internet dans des cours mais avec des explications restreintes malheureusement!



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