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Fonctions homogènes de degré 1 et fonctions linéaires
Bonjour à toutes et à tous,
Voilà. Je suis professeur dans un collège et je voudrais introduire les fonctions linéaires comme "toute fonction vérifiant pour tous nombres réels k et x : f(kx) = kf(x)"
Je sais que la notion d'additivité n'est pas nécessaire car :
f(x+y) = (x+y)f(1) = xf(1)+yf(1) = f(x)+f(y).
Connaissez-vous un exemple de fonction homogène de degré 1 qui ne soit pas une fonction linéaire ?
Je m'interroge sur ce point et je ne me sens pas d'introduire les fonctions linéaires de la sorte si je ne suis sûr de ce que je manipule et du pourquoi j'ai le droit de le manipuler ainsi...
Quelle propriété de R fait que : fonction homogène de degré 1 = fonction linéaire ?
Merci d'avance pour votre précieuse aide.
Un professeur qui commence à avoir mal à la tête et aux yeux (à force d'errer sur internet pour trouver une réponse...)
C'est une approche que je veux tenter cette année.
Partir de "On appelle fonction linéaire toute fonction f vérifiant "pour tout (k,x) dans R² : f(kx)=kf(x)"
Ensuite en déduire : "Si f est linéaire, alors pour tous x et y dans R : f(x+y)=f(x)+f(y)"
Et enfin démontrer l'équivalence : "f linéaire <=> f peut s'écrire sous la forme x -> mx avec m dans R".
Et ensuite, je reprends le fil classique du cours de 3e (représentation graphique, etc)...
Mais pour cela, il me faut maitriser pourquoi si f : R -> R alors "homogène de degré 1 <=> linéaire" et comprendre pourquoi ceci est faux si f : E -> E... Ne serait-ce que si je suis inspecté là-dessus...
salut
si tu surfe un peu sur l'ile niveau collège ou lycée (et bien que je n'enseigne pas au collège) je te déconseille de parler de fonction homogène ... de même d'introduire un espace E quelconque ...
Quelle propriété de R fait que : fonction homogène de degré 1 = fonction linéaire ?
il suffit de savoir ce qu'est une fonction homogène à une variable .... et ce n'est pas R qui importe ....
Merci carpediem,je viens de trouver un contre exemple avec f : R² -> R²
Désolé si mon message n'était pas dans la rubrique appropriée... 
f : R² -> R
X = (x1 , x2) -> max(x1 , x2)
est un contre exemple qui est pas mal.
Merci Aleph (d'un autre forum) et merci carpediem pour tes infos
J'ai l'impression que je vien de raconter n'importe quoi...
En effet, max (- 5 ; - 8) = -5
- max (5 ; 8) = -8
donc x -> max (x) ne vérifie pas "pour tout k dans R, f(kx)=kf(x)"...
alors vérifie que les seuls fonctions homogènes de degré r de R2 dans R sons les fonctions :
(x, y) --> 
k=0k=r akxkyr-k
et qui sont donc les fonctions x --> axr de R dans R ....
J'ai réussi la partie facile "si , alors f est homogène de degré r."
Mais je n'arrive pas à prouver "Si f est homogène de degré r, alors il existe telle que
Est-ce que ceci va me permettre de trouver un exemple de fonction homogène de degré 1 non linéaire ?
pardon j'ai dit une bêtise ....
x --> |x|, x --> 
x sont homogènes
mais f(kx) = kf(x) ==> f(0) = 0
si de plus f est dérivable en 0 alors f est linéaire ....
f(x, y) = xy est (positivement) homogène .... f(kx,ky) = k3/2f(x, y) pour k > 0
f : x --> |x| est positivement homogène :: pour tout k > 0 : f(kx) = kf(x) ....
mais comme je l'ai dit c'est un cas un peu particulier ...
bonsoir,
j ai cru comprendre qu il s agissait d introduire cette notion au college .... on s est eloigne du sujet?
Oui, nous avons un peu dévié...
Voici un exemple de fonction homogène de degré 1 non linéaire (donnée par quelqu'un sur un autre forum) :
f : R² -> R
f(x,y)=0 si y=0
f(x,y)=x si y est différente de 0
Cet exemple est pour ma culture personnelle et ce n'est, en aucun cas, un exemple à présenter à des élèves de 3ème, bien entendu...
enfin elle est linéaire "en plein d'endroits" ....
f((x, 0) + (u, 0)) = f(x, 0) + f(u, 0)
f((x, y) + (u, v)) = f(x, y) + f(u, v) avec yv(y + v) 
0
par exemple ....
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