Bonjour

La première est fausse, regarde son comportement au voisinage de 0
la deuxième est vraie, elle est 1/2-lipschitzienne

je t'ai dit uniquement les solutions pour t'aiguiller, mais à toi de t'occuper des démonstrations et contre-exemples !

Bonjour ,


,
Premièrement il faut exprimer en fonction de , et une inégalité en considérant l'intervalle  où x,y appartient.

      Soient a un réel de ]0 , 1[  et f  l'application  de ₊*  vers définie par  f(0) = 0 et f(x) =  x^a   si x > 0 .

Pour x > 0 on a (f(x) - f(0))/(x - 0) = ax^a-1  et ceci tend vers  +   quand x 0+  .
f n'est donc  lipschitzienne  sur aucun intervalle J tel que Inf(J) = 0 .

Si J est un intervalle tel que  m:= Inf(J) > 0 , pour x et y distincts dans J on a  |f(x) - f(y)|/|x - y| = f '(z) = a/z^1-a     pour au moins un z entre x et y

On a donc |f(x) - f(y)|/|x - y|  < a/m^1-a   ce qui prouve que .....

  Dans le cas où a = 1/2 , d'aucun de l'île  te suggérera de " multiplier et diviser par  la (fameuse )  quantité conjuguée "  .

Autrement dit d'écrire que pour tout x et y de ₊* on a  :x -y = (x  - y)/(x + y)

Bonjour à tous, désolé encore de vous dérange j'ai une nouvelle question de mon DM qui me pose un problème, c'est toujours des vrai ou faux.

Si f est défini sur R à valeur dans R
f lipschitzienne sur R implique f uniformément continue

dans le cours on nous dit que ceci est vérifié pour f défini sur un intervalle. Donc je présume que c'est faux si c'est sur tout R mais je ne vois pas de contre exemple satisfaisant

salut

si m = Min (x, y) et M = Max (x, y) alors





ce qui règle le cas lorsque x et y sont dans [0, 1] ou dans [1, +oo[ ...


si f est lipschitzienne de R dans R alors ... (écrire la définition) donc ...

Bonjour,
R=]- ; +[