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Fonctions lipschitziennes

Posté par
max19 11-10-09 à 19:37

Bonjour, encore un DM dont je comprends rien:

Une fonction f définie sur un intervalle I est dite lipschitzienne si :il existe k0 tel que pour tout x et tout y dans I, |f(x)-f(y)|k|x-y|

(a) Montrer que la fonction f1 : xax+b est lipschitzienne, mais pas f2:xx2

(b) Montrer que si f et g sont deux fonctions lipschitziennes alors f+g et f°g le sont aussi, mais que ce n'est pas forcément le cas pour fg

(c) Montrer que si f est une lipschitzienne, alors f est continue.
Montrer que la réciproque est fausse (pour cette question j'utiliserais un contre exemple: xx2 est continue mais pas lipschitzienne, d'après le 1(a))

Posté par
LeHiboure : Fonctions lipschitziennes 11-10-09 à 19:57

Bonjour,

Pour a), tu as :
|f(x)-f(y)| = |ax+b-(ay+b)| = |a|.|x-y|
Donc, par définition, la fonction est lipschitzienne de facteur |a|

Pour b), si tu essayes de faire la même chose, tu as :
|f(x)-f(y)| = |x²-y²| = |x+y|.|x-y|
Pour que la fonction soit lipschitzienne sur I = , il faudrait que tu puisses trouver un majorant de |x+y| lorsque x et y parcourrent chacun indépendamment l'un de l'autre,
ce qui est clairement impossible.
Donc la fonction n'est pas lipschitzienne (elle le devient si tu réduis I à un intervalle borné)

Je te laisse continuer tout seul ?

Posté par
max19re : Fonctions lipschitziennes 11-10-09 à 20:08


je me lance restez pas loin ^^ quand meme

Posté par
max19re : Fonctions lipschitziennes 11-10-09 à 20:14

Comment puis je rédiger que f2 n'est pas lipschtzienne?

Posté par
LeHiboure : Fonctions lipschitziennes 11-10-09 à 20:14

Je promets pas parce que c'est pas le meilleure heure mais je vais faire de mon mieux

Posté par
LeHiboure : Fonctions lipschitziennes 11-10-09 à 20:15

Tu reprends ma démonstration et tu la mets à la première personne...

Posté par
cailloux Correcteurre : Fonctions lipschitziennes 11-10-09 à 20:19

Bonjour,

a) |f_1(x)-f_1(y)|=|ax-ay|=|a||x-y|

Il suffit de prendre k=|a|

f_1 est donc lipschitzienne

b) |f_2(x)-f_2(y)|=|x^2-y^2|=|x+y||x-y|

Or il n' existe pas k>0 tel que pour tout couple (x,y), on ait:

|x+y|\leq k

et f_2 n' est pas lipschitzienne.

b) S' il existe k_1 et k_2 positifs tels que pour tout couple (x,y):

\{|f(x)-f(y)|\leq k_1|x-y|\\|g(x)-g(y)|\leq k_2|x-y|,

alors |(f+g)(x)-(f+g)(y)|=|f(x)-f(y)+g(x)-g(y)|\leq |f(x)-f(y)|+|g(x)-g(y)|\leq k_1|x-y|+k_2|x-y|

|(f+g)(x)-(f+g)(y)|\leq (k_1+k_2)|x-y|

et f+g est lipschitzienne.

c)Si f est lipschitzienne, il existe k>0 tel que pour tout couple (x,y):

|f(x)-f(y)| \leq k|x-y|

et avec y=a:

|f(x)-f(a)|\leq k|x-a|

On peut rendre f(x) "aussi proche de f(a)" que l' on veut pourvu que x soit "assez proche" de a

Autrement dit: \lim_{x\to a}f(x)=f(a) et f est continue en a donc continue sur l' intervalle où elle est définie.


Posté par
cailloux Correcteurre : Fonctions lipschitziennes 11-10-09 à 20:21

Bonjour LeHibou

Posté par
LeHiboure : Fonctions lipschitziennes 11-10-09 à 20:25

Bonjour cailloux

Il faut quand même qu'on laisse un petit quelque chose à notre ami max19, sinon il va s'ennuyer

Posté par
max19re : Fonctions lipschitziennes 11-10-09 à 20:27

Je trouv'e vraiment abusé de donner a des terminales des DM si dur.... JE peux avoir une piste pour l'addition et la composition des fonction lipschitzienne?

Posté par
cailloux Correcteurre : Fonctions lipschitziennes 11-10-09 à 20:41

>>LeHibou

J' ai remanié la formulation de ma réponse à la question c) au moins 3 ou 4 fois et ce pendant 15 minutes; c' est pour ça que n' avais vu que tu avais répondu

>>max19 tu as une réponse à 20h19

Posté par
LeHiboure : Fonctions lipschitziennes 11-10-09 à 20:43

cailloux te l'a déjà montré pour l'addition...

Pour la composition :
On suppose f lipschitzienne de facteur k1 et g lipschitzienne de facteur k2
Donc
|f(g(x))-f(g(y))| k1.|g(x)-g(y)|
et
|g(x)-g(y)| k2.|x-y|
donc
|f(g(x))-f(g(y))| k1.k2.|x-y|
fog est donc lipschitzienne de facteur k1.k2

Posté par
max19re : Fonctions lipschitziennes 11-10-09 à 21:01

Voila la suite ^^!

2) application aux suites on considère la suite (Un), définie par U0=1 et pour tout entier naturel n 1 par Un+1 = 1 + 1/Un

(a) Démontrer que pour tout n0, on a Un > 0 (raisonement par récurrence simple)

'b) Démontrer que pour tout n1 3/2Un2

(c)on considere f définie sur + par f(x)=1 + 1/x
démontrerque pour tout x3/2 et pour tout y 3/2 on a |f(x)-f(y)|4/9|x-y|

(d) la suite converge, quelle est sa limite?

Posté par
max19Fonction lipschitziennes 11-10-09 à 21:32

Bonjour, encore un DM dont je comprends rien:
1)
Une fonction f définie sur un intervalle I est dite lipschitzienne si :il existe k0 tel que pour tout x et tout y dans I, |f(X)-f(Y)|k|x-y|

(A) Montrer que la fonction f1 : xax+b est lipschitzienne, mais pas f2:xx2
OK

(B) Montrer que si f et g sont deux fonctions lipschitziennes alors f+g et f°g le sont aussi, mais que ce n'est pas forcément le cas pour fg
OK

(C) Montrer que si f est une lipschitzienne, alors f est continue.
Montrer que la réciproque est fausse
OK

2) application aux suites on considère la suite (Un), définie par U0=1 et pour tout entier naturel n 1 par Un+1 = 1 + 1/Un

(a) Démontrer que pour tout n0, on a Un > 0
OK

'b) Démontrer que pour tout n1 3/2Un2
PAS REUSSI

(c)on considere f définie sur + par f(x)=1 + 1/x
démontrerque pour tout x3/2 et pour tout y3/2 on a |f(x)-f(y)|4/9|x-y|
PAS REUSSI

(d) la suite converge, quelle est sa limite?
PAS REUSSI

*** message déplacé ***

Posté par
abdel01re : Fonction lipschitziennes 11-10-09 à 21:43

bonsoir

evites les multi-posts stp !

*** message déplacé ***

Posté par
cailloux Correcteurre : Fonctions lipschitziennes 11-10-09 à 21:44

Je te laisse le 2)a)

b)Une récurrence encore:

u_1=2 donc \frac{3}{2}\leq u_1\leq 2 et l' initialisation est faite.

Si \frac{3}{2}\leq u_n\leq 2

\frac{1}{2}\leq \frac{1}{u_n}\leq \frac{2}{3}

\frac{3}{2}\leq 1+\frac{1}{u_n}\leq \frac{5}{3}\leq 2

et l'hérédité est prouvée.

c) |f(x)-f(y)|=\left|\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right|=\frac{|x-y|}{|xy|}

Or si x\geq \frac{3}{2} et y\geq \frac{3}{2}, alors xy\geq \frac{9}{4} et \frac{1}{xy}\leq \frac{4}{9}

donc |f(x)-f(y)|\leq \frac{4}{9}|x-y|

d) D' après les questions précédentes, f étant lipschitzienne, on en déduit qu' elle est continue sur [\frac{3}{2},2]

Et sa limite \ell est solution de l' équation x=f(x)

soit x^2-x-1=0

Dont les solutions sont \frac{1+\sqrt{5}}{2} et \frac{1-\sqrt{5}}{2}

La seconde, négative, est à éliminer.

Donc \ell=\frac{1+\sqrt{5}}{2}

Posté par
max19re : Fonctions lipschitziennes 11-10-09 à 22:11

Ok. Merci beaucoup! Dsl d'abusé il reste 3 petite questions:
(e) Démontrer en Utilisant : "|f(x) - f(y)|4/9|x_y|" que pour tout n1 on a : |Un+1-l|4/9|Un-l|

(f) En déduire, en raisonnant par récurrence que pourtout n 1 on a |Un-l|(4/9)n-1|U1-l|

g) Démontrer enfin que la suite (Un) converge vers l

Posté par
cailloux Correcteurre : Fonctions lipschitziennes 11-10-09 à 22:35

e) on a \ell=f(\ell ) et u_{n+1}=f(u_n)

Donc on peut écrire pour n\geq 1:

|u_{n+1}-\ell|=|f(u_n)-f(\ell )|\leq \frac{4}{9}|u_n-\ell|

f) Initialisation:

On a bien |u_1-\ell|\leq \left(\frac{4}{9}\right)^0|u_1-\ell| et la propriété est vraie pour n=1

Hérédité:

On suppose donc que |u_n-\ell|\leq \left(\frac{4}{9}\right)^{n-1}|u_1-\ell|

Alors |u_{n+1}-\ell |\leq \frac{4}{9}|u_n-\ell| d' après la question précédente.

et |u_{n+1}-\ell|\leq \left(\frac{4}{9}\right)^{n}|u_1-\ell| avec l' hypothèse de récurrence.

Donc la propriété est héréditaire; étant vraie pour n=1, elle l' est pour tout n\geq 1

g) On a donc 0\leq |u_n-\ell|\leq \left(\frac{4}{9}\right)^{n-1}|u_1-\ell|

Or \lim_{n\to +\infty}\left(\frac{4}{9}\right)^{n-1}=0

et les gendarmes permettent d' affirmer que: \lim_{n\to +\infty}|u_n-\ell|=0

donc que \lim_{n\to +\infty}u_n=\ell

Posté par
max19re : Fonctions lipschitziennes 11-10-09 à 22:56

Merci énormément!!!!!! j'ai un autre exercice en cour sans réponse "Caractérisation séquentielle d'une limite" si vous pouvez m'aider sinon c'est pas grave merci beaucoup déja

Posté par
cailloux Correcteurre : Fonctions lipschitziennes 11-10-09 à 23:07

De rien max19

Si personne ne t' a répondu je regarderai demain; Attention au multipost

Posté par
max19re : Fonctions lipschitziennes 11-10-09 à 23:08

oui dsl! demain ça sera trop tard! c'est pa grave merci quand meme


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