Bonjour à tous !

Alors j'ai un exercice de maths et j'aurai besoin d'aide pour un "débloquage".
Voici l'énoncé :

On note n un entier naturel non nul, et f_n définie sur ]0;+[
f_n(x)=( )+ n*ln x

1) a. Vérifier que l'on f'_n(x)=g_n(x)/x²
dont g_n est une fonction que l'on précisera.
b. Etudier le signe de g_n sur ]0;+[ .
c. En déduire le tableau de variation de f_n.

2) Déterminer les limites de f_n en 0 et en +.

3) a. Montrer que pour tout n *, il existe un unique réel a_n tel que f_n(a_n)= 0
b. justifier que a_n appartient à l'intervalle ] 0;1[

4) a. Montrer que pour tout n *
f_n+1(a_n)=ln(a_n)
b. En déduire que a_na_n+1 et que la suite (a_n) converge

5. On admet que, pour tout x de l'intervalle ]0;1] :

a. Montrer que, pour tout n*:
a_ne^(1-e)/n
b. En déduire la limite de la suite (a_n)

Je bloque surtout sur la quatrième ou je ne sais pas trop comment faire,  
Pour  la cinquième questions, je pensais  utiliser le fait que f_n(a_n)=0  et remplacer x par a_n est-ce la bonne piste à prendre ?  

Merci d'avance !