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Fonctions numériques dérivations et trigonométrie
Bonjour, j'ai 1 petit exo sur les fonctions, dérivations, mélangé a de la trigonométrie qui me posent problème.
le 92 p.63 du livre Indice Maths TermS
EXO 92 :
Soit C le cercle trigonométrique et A un point du cercle (sur zéro par exemple) . On se propose d'étudier les aires des triangles isocèles de sommet A inscrit dans le cercle C .
On choisit le repère ( O ; i ; j ) orthonormal direct avec vecteur OA = vecteur i .
Un triangle isocèle AMM ' est inscrit dans C .
(avec M d'ordonné positive)
A. Première méthode
Désignons par x l'abscisse commune de M et de M ' .
1°) a) Quelles sont les valeurs possibles de x ?
b)Montrer que l'aire du triangle AMM ' s'exprime en fonction de x par
A(x) = (1-x) √(1-x²).
2°) Déterminer x tel que l'aire du triangle AMM ' correspondant soit maximale.
Construire ce triangle et donner les coordonnées cartésiennes de M et de M '.
B. Deuxième méthode
Désignons par α la mesure principale de l'angle ( vecteur OA ; vecteur OM).
1°)a) Quelles sont les valeurs de possibles pour α ?
b)Déterminer les coordonnées de M en fonction de cos α et sin α.
c)Exprimer l'aire du triangle AMM ' en fonction de cos α et de sin α.
2°) Soit g la fonction définie sur [ 0 ; π ] par :
g ( α ) = (1 - cos α ) sin α.
a)Démontrer que : g'( α ) = -2 (cos α - 1) (cos α + ½).
b)En déduire les variations de g.
3°) Déterminer α tel que l'aire du triangle AMM ' correspondant soit maximale. Donner les coordonnées polaires des points M et M ', sommets de ce triangle.
Va-t-on retrouver le résultat de la partie A. ?
Merci de bien vouloir m'aider. Je ne cherche pas spécialement à avoir directement les réponses, mais à m'aiguiller. Merci d'avance.
Bonne journée et bon courage !
Voila la première méthode.
1°)
A)
Equation du cercle avec le repère choisi.
x² + y² = 1
-> M(X ; V(1-X²)) (V pour racine carrée).
et M'(X ; -V(1-X²))
MM' = 2 V(1-X²)
La hauteur du triangle AMM' issue de A est égale à (1 - X) (fais le dessin pour bien suivre).
A(x) = (1/2). 2 V(1-X²).(1-X)
A(x) = V(1-X²).(1-x)
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b)
A(x) = V(1-x²).(1-x)
A'(x) = -x(1-x)/V(1-x²) - V(1-x²)
A'(x) = [-x(1-x)-(1-x²)]/V(1-x²)
A'(x) = (-x+x²-1+x²)/V(1-x²)
A'(x) = (2x²-x-1)/V(1-x²)
V(1-x²) > 0 pour x dans ]-1 ; 1[
A'(x) a donc le signe de (2x²-x-1) dans ]-1 ; 1[
2x²-x-1 = 0 pour x = (1 +/- V(9))/4 soit x = -1/2 et x = 1
A'(x) > 0 pour x dans ]-1 ; -1/2[ -> A(x) est croissante.
A'(x) = 0 pour x = -1/2
A'(x) < 0 pour x dans ]-1/2 ; 1[ -> A(x) est décroissante.
A(x) est donc maximum pour x = -1/2
On alors M(-1/2 ; V(1-(1/4)))
M(-1/2 ; (V3)/2)
et M'(-1/2 ; -(V3)/2)
Aire max = V(1-(1/2)²).(1-(-1/2)) = (3V3)/4
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Sauf distraction. 
2 ème méthode.
1°
a)
alpha est dans [0 ; Pi]
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b)
Abscisse de M = 1.cos(alpha)
Ordonnée de M = 1.sin(alpha)
M(cos(alpha) , sin(alpha))
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c)
MM' = 2.sin(alpha)
hauteur du triangle issue de A du AMM' : 1 - cos(alpha)
A(alpha) = (1/2).2.sin(alpha).(1 - cos(alpha))
A(alpha) = sin(alpha).(1 - cos(alpha))
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2°)
a)
Je mets a au lieu de alpha pour faciliter l'écriture.
g(a) = sin(a).(1 - cos(a))
g'(a) = cos(a) - cos²(a) + sin²(a)
g'(a) = cos(a) - cos²(a) + (1-cos²(a))
g'(a) = cos(a) - 2cos²(a) + 1
g'(a) = -2(cos²(a) - (1/2)cos(a) - (1/2))
g'(a) = -2(cos(a) - 1)(cos(a) + (1/2))
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b)
g'(a) < 0 pour cos(a) dans [-1 ; -1/2[
g'(a) = 0 pour cos(a) = -1/2
g'(a) > 0 pour cos(a) dans ]-1/2 ; 1[
g'(a) > 0 pour a dans [0 ; 2Pi/3[ -> g(a) est croissante
g'(a) = 0 pour a = 1Pi/3
g'(a) < 0 pour a dans ]2Pi/3 ; Pi[ -> g(aà est décroissante.
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g(a) est max pour a = 2Pi/3
Coordonnées polaires: M(1 , 2Pi/3) et M'(1 , -2Pi/3)
On retrouve le résultat de la partie A.
En effet si on repasse en coordonnées cartésiennes:
M(cos(2Pi/3) ; sin(2Pi/3))
M(-0,5 ; (V3)/2)
et
M'(cos(-2Pi/3) ; sin(-2Pi/3))
M'(-0,5 ; -(V3)/2)
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Sauf distraction.
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