Après de bonne vacances, je n'ai pas encore repris le rythme
ou plus exactement j'ai conservé le rythme du Midi, de Saint
Paul de Vence plus exactement.  

Voila donc uniquement le premier.

1)
Je suppose qu'il fallait lire:

f(x) = (2x² -7x+8)/(x²-3x+2)

f(x) = (2x² -7x+8)/[(x-1)(x-2)]

Df : R/{1 ; 2}

lim(x-> -oo) f(x) = 2

Le déterminant de 2x² - 7x + 8 = 0 est négatif -> 2x² - 7x + 8 a le
signe de son coeff en x² (soit positif) quelle que soit la valeur
réelle de x.

lim(x-> 1-) f(x) = +oo
lim(x-> 1+) f(x) = -oo

lim(x-> 2-) f(x) = -oo
lim(x-> 2+) f(x) = +oo

lim(x-> +oo) f(x) = 2

La droite d'équation y = 2 est asymptote horizontale à la courbe
représentant f(x) aussi bien du coté des x négatifs que du coté des
x positifs.
La droite d'équation x = 1 est asymptote verticale à la courbe
représentant f(x).
La droite d'équation x = 2 est asymptote verticale à la courbe
représentant f(x).

f '(x) = ((4x-7)(x²-3x+2)-(2x-3)(2x²-7x+8))/(x²-3x+2)²
f '(x) = (4x³-12x²+8x-7x²+21x-14 -(4x³-14x²+16x-6x²+21x-24))/(x²-3x+2)²
f '(x) = (x²-8x+10)/(x²-3x+2)²

f '(x) = 0 pour x = 4 +/- V(6)    avec V pour racine carrée.

f '(x) > 0 pour x dans ]-oo ; 1[ -> f'x) est croissante.
f '(x) n'existe pas pour x = 1
f '(x) > 0 pour x dans ]1 ; 4 - V(6)[ -> f(x) est croissante.
f '(x) = 0 pour x = 4 - V(6)
f '(x) < 0 pour x dans ]4 - V(6) ; 2[ -> f(x) est décroissante.
f '(x) n'existe pas pour x = 2
f '(x) < pour x dans ]2 ; 4 + V(6)[ -> f(x) est décroissante.
f '(x) = 0 pour x = 4 + V(6)
f '(x) > 0 pour x dans ]4 + V(6) ; oo[ -> f(x) est croissante.

Il y a un maximum dans la courbe représentant f(x) pour x = 4 - V(6)
Il y a un minimum dans la courbe représentant f(x) pour x = 4 + V(6)
-----
Sauf distraction.    

Salut j-p! Malgré ton retour du sud, je vois que tu te dévoues pour
m' aider et je t'en remercie. Merci pour le 1er exercice,
j' espère que tu pourras résoudre les suivants. Merci  énormément
j-p.

Salut Cortex !

Pour l'exercice 2, voici quelques indications pour que tu puisses
te lancer...

Je suppose que f est la fonction de R dans R définie par :  f(x) = [2x²
+x-1]/[x²-x+1]   (avec les parenthèses)...


a) Etudier f  :

------------
Avant tout, quel est l'ensemble de définition de f ?
On te dit que f est définie sur R, mais parfois, il se peut qu'il
y ait des valeurs interdites...
Ici, il vaut donc mieux vérifier si x²-x+1 s'annule ou non...

------------
Ensuite, pour étudier le sens de variations de f, il va falloir
--> calculer sa dérivée.
        Pour cela, utilise la formule (u/v)' = [u'v -uv']
/ v²
-->  Puis étudie le signe de f'...

------------
b) Etudier la position de Cf par rapport à la droite asymptote delta
: y = 2 ; on indiquera pour quelle valeur de x la courbe  coupe delta.

Notons g : x --> g(x) = 2 et Cg sa courbe représentative.


--> alors Gf coupe Cg au point d'abscisse x  si , et seulement
si f(x) = g(x)...
        Il s'agit donc de résoudre l'équation [2x² +x-1]/[x²-x+1]
= 2 ...
Cette équation est par exemple équivalente à [2x² +x-1]/[x²-x+1] - 2 =
0...
Mise au même dénominateur... puis... un quotient s'annule si, et
seulement si son numérateur s'annule...
A toi de jouer


--> D'autre part, l'ensemble des points de Cf situés au-dessus
de Cg est l'ensemble des points d'abscisse x telle que
f(x)>g(x)...
c'est donc l'inéquation [2x² +x-1]/[x²-x+1] > 2 qu'il
va falloir résoudre...
Inéquation équivalente à [2x² +x-1]/[x²-x+1] - 2 >0 :
Mise au même dénominateur, puis tableau de signe...
Encore à toi de jouer !



***************

N'hésite pas à proposer ta solution, et à poser des question sur ce qui te
pose problème..

@++

Re !

Voyons maintenant l'exercice 3:

On considère les fonctions :
     f : R----->R
          x----->3/(3-x)  --> enfin, je suppose qu'il y a
des parenthèses...
     g : R----->R
          x----->x²-3
     h : R----->R
          x----->1/2 x+1

-------------------
Former g o f ;
Par définition (gof)(x) = g[f(x)]
gof est donc définie sur l'ensemble de définition de f...
La preuve que je ne mentais pas, tout à l'heure, dans mon mesage
précédent... f n'est pas définie sur R tout entier...
Et pour tout x de D_f,
(gof)(x) = g[ 3/(3-x) ]
               = [ 3/(3-x) ] ²  - 3
               =  ....
Tu dois continuer les calculs pour arriver à une expression de (gof)(x)
en fonction de x (et plus de f(x) ou g(x)...)

trouver la dérivée de g o fde deux manières
La première façon, c'est d'utiliser l'expression que
tu as trouvé dans la question précédente... et tu la dérive grâce
qux formules usuelles...
L'aute façon ,c'est d'utiliser la formule (gof)'(x) = g'[f(x)]
   f'(x)

Déterminer  h o (g o f), h o g, (h o g) o f
Bah... là aussi... faut se lancer, en partant de la définition des fonction
composées... Courage !
Sauf qu'ici, il y en a trois... donc doucement :
Pour tout x...
[ h o (g o f) ] (x) = h [ (g o f)(x) ]
....



COURAGE !

@++

Merci pour toutes ces précieuses précisions. J' avoue avoir
du mal à discerner certains choses des fois comme l' exercice
numéro 3, mais tant pis. Par contre, pourrais-je une réponse pour
l' exercice numéro 4 également, qui a été oublié au passage.
Merci 1000 fois.

Rien pour aider lol mais pour souhaiter un bon retour à notre J-P
!!!

Moi je suis dans un petit patelin : Leyment dans l'ain !!!

Je fais des petits tours sur le forum si je peux aider !

Fais trop chaud ... pour sortir !!!

Je rends l'antenne !!!

Charly

Je suis exténué! Ouuuuf! Pourrai-je avoire quelques résultats concernant
les exercices numéros 2, 3 et 4, histoire de voir si je ne fais pas
"echec et maths!" Merci, merci!

Salut à toi charlynoodles, bonnes vacances.

Pour Cortex:

Tu dis:

J' avoue avoir du mal à discerner certaines choses des fois comme l'
exercice numéro 3, mais tant pis.

Pourquoi "tant pis" ? Si tu ne comprends pas, demande.

Je commence l'exercicxe 3.

a)
g(x) = x² - 3
f(x) = 3/(3-x)

gof = g(f(x)) = (f(x))² - 3
gof = [3/(3-x)]² - 3
gof = [9/(3-x)²] - 3
gof = [(9-3(3-x)²]/(3-x)²
gof = 3.[(3-(3-x)²]/(3-x)²
gof = 3.[(3-(9-2x+x²)]/(3-x)²
gof = -3.(x²-6x+6)/(3-x)²     (1)
  
Première façon de dériver (en dérivant (1)):
(gof)' = -3.[(2x-6)(3-x)²+2(3-x)(x²-6x+6)]/[(3-x)^4]
(gof)' = -3.[(2x-6)(3-x)+2(x²-6x+6)]/(3-x)³
(gof)' = -3.(6x-2x²-18+6x+2x²-12x+12)/(3-x)³
(gof)' = -3.(-18+12)/(3-x)³
(gof)' = -3.(-6)/(3-x)³
(gof)' = 18/(3-x)³

Deuxième façon de dériver:
(gof)' = g'[f(x)]. f '(x)    (1)

g'(x) = 2x
g'(f(x)) = 2.f(x) = 6/(3-x)    (2)

f '(x) = 3/(3-x)²    (3)

(2) et (3) dans (1) ->
(gof)' = [ 6/(3-x) ].[3/(3-x)²]
(gof)' = 18/(3-x)³

Et miracle ?, les 2 manières de dériver ont donné la même solution.
-----
Essaie de continuer l'exercice 3 en te basant sur ce qui précède et
sur les indications de Titi VTS.
--------------------

Pour l'exercice 4.

f(x) = 3 racine carrée de x²+5x
f(x) = 3.(x²+5x)^(1/2)

f '(x) = 3.(1/2).(x²+5x)^(-1/2) . (2x+5)
f'(x) = (3/2).(2x+5)/ [V(x²+5x)]

avec V pour racine carrée.
---
g(x) = 3/(x "exposant 3" +2)le tout exposant 3
g(x) = 3/(x³ +2)³
g(x) = 3.(x³+2)^(-3)

Mis sous cette forme, tu dois pouvoir facilement calculer g'(x)
....

Idem pour le dernier.
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Sauf distraction.      

Essaie de continuer et inscris tes solutions, il y aura bien une bonne ame
pour te corriger si besoin est.

Merci J-P, tu es quelqu' un de chaleureux, (normal pour une
personne qui va en vacances dans le sud) je vais suivre tes instructions.
Merciiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii!