1)
f(x) =  -x + 4 + 2ln(x-1) si  1 < x < 2
lim(x-> +2-) f(x) = -2+4+2ln(1) = 2    (1)

f(x) = x - 1 + e^(-x+2) si  x > = 2
f(2) = 2 - 1 + e^0 = 2 - 1 + 1 = 2  (2)

(1) et (2) -> f(x) est continue en x = 2
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2)
f(x) = x - 1 + e^(-x+2) si  x > = 2
( f(2+h) - f(2)) / h = (2+h - 1 + e^(-2-h+2) - 2)/h
( f(2+h) - f(2)) / h = (h - 1 + e^(-h))/h
lim(h->0+) [( f(2+h) - f(2)) / h = lim(h->0+)[(h - 1 + e^(-h))/h] = 0  (3)

f(x) = -x + 4 + 2ln(x-1) si  1 < x < 2
( f(2-h) - f(2)) / (-h) = (-2+h + 4 + 2ln(2-h-1) - 2)/(-h)
( f(2-h) - f(2)) / (-h) = (h  + 2ln(1-h))/(-h)
lim(h->0) [( f(2-h) - f(2)) /(-h) = lim(h->0+) [(h  + 2ln(1-h))/(-h)] = 1 (4)

(3) et (4) -> f(x) n'est pas dérivable en x = 2.
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3)
Si  1 < x < 2
f(x) = -x + 4 + 2ln(x-1)
f '(x) = -1 + 2/(x-1) = (-x+3)/(x-1)

f '(x) n'existe pas en x = 1
f '(x) > 0 pour x dans ]1 ; 2[ -> f(x) est croissante.
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Si x >= 2
f(x) = x-1+e^(-x+2)
f '(x) = 1 - e^(-x+2)

f '(x) > 0 pour x > 2 -> f(x) est croissante.
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4)
Si  1 < x < 2
f(x) = -x + 4 + 2ln(x-1)
lim(x-> 1+) f(x) = -oo
et donc la droite d'équation x = 1 est asymptote verticale à la courbe représentant f(x)

Si x >= 2
f(x) = x-1+e^(-x+2)

lim(x-> oo) [f(x) - (x+1)] = lim(x-> oo) [e^(-x+2)] = 0
-> la droite d'équation y = x-1 est asymptote oblique à la courbe représentant f(x).
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5)
Si  1 < x < 2
f(x) = -x + 4 + 2ln(x-1)
f '(x) = (-x+3)/(x-1)
f ''(x) = (-x+1+x-3)/(x-1)²
f ''(x) = -2/(x-1)²

f''(x) < 0 pour x dans ]1 ; 2[ -> la concavité de f(x) est tournée vers le bas.
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Si x >= 2
f(x) = x - 1 + e^(-x+2)
f '(x) = 1 - e^(-x+2)
f ''(x) = e^(-x+2)
f''(x) > 0 et donc pour x dans [2 ; oo[ -> la concavité de f(x) est tournée vers le haut.
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6)
L'asymptote oblique a pour équation y = x-1

1) Si  1 < x < 2
f(x) - (x - 1) = -x + 4 + 2ln(x-1) - x + 1
f(x) - (x - 1) = -2x + 5 + 2ln(x-1)

f(x) - (x - 1)  = 0 pour x = 1,3017 environ.

f(x) - (x - 1) < 0 pour x dans ]1 ; 1,3017...[ -> f(x) < (x - 1) et la courbe de f est en dessous de l'asymptote.
f(x) - (x - 1) = 0 pour x = 1,3017..., la courbe de f et l'asymptote coïncident.
f(x) - (x - 1) > 0 pour x dans ]1,3017 ; 2[ -> f(x) > (x - 1) et la courbe de f est au dessus de l'asymptote.
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Si x >= 2
f(x) - (x - 1) = f(x) = x - 1 + e^(-x+2) - (x-1) = e^(-x+2)
f(x) - (x - 1) > 0 et donc pour x >=2, f(x) > (x - 1) et la courbe de f est au dessus de l'asymptote.
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Saut distraction.  Vérifie