Bonjour, suis les indications !
- si u v que dire de u- et v- ?
- après regarde les signes de u- et v- et déduis-en la comparaison entre (u − )² et (v − )²

salut

ouais tu n'as pas fait grand chose alors qu'on te dit tout !!

j'utilise les lettres s et m plutôt que des lettres grecques (pénibles à "taper" !!)

donc

soit

a/ calculer et déterminer son signe

b/ conclure en utilisant la définition de fonction croissante/décroissante

bonjour,

1)  en effet   f(x)  =  a ( x - )² +

2)  u  et v sont des valeurs de x
écris   f(u)  et f(v)

Comme souvent, je me fais doubler ... je m'éclipse.
Bonne journée !

tu peux prendre le relais si tu veux, je vais quitter bientôt.

merci Glapion, je relaierai si carpediem quitte aussi.

f(u)=au²+bu+c
f(v)=av²+bv+c

Comment savoir le signe des fonctions , je sais qu'on peut déterminer le signe selon

Yahiko,

en question 1) on te parle de la forme canonique. Il faut suivre les indications ; exprime f(u) et f(v) sous leur forme canonique.

ensuite
on   a    u   v
on te demande d'écrire une inégalité pour u-  et v- ...

f(u)=au²+bu+c
f(u)=a(u²+bu/a+c)
f(u)=a(a²+bu/a+(b/4a)²)-(b/4a)²+c)
f(u)=a(u+b/2a)²+(c-b²/4a)

f(v)=av²+bv+c
f(v)=a(v²+bv/a+c)
f(v)=a(v²+bv/a+(b/4a)²-(b/4a)²+c)
f(v)=a(v+b/2a)²+(c-(b/4a)²)

Yahiko

pourquoi n'utilises tu pas la forme canonique que tu as écrite à la 1ère question ?
f(x)  =  a  (x-)²  +
f(u) =  a ( u - )² +
f(v) = ?

ensuite
à partir   de      u   v  
que dois tu faire pour faire apparaitre  u-  ?

ah oui ,
f(v)= a(v-)²+
u-v--
u-v-0

très bien.

on a donc u-   et  v-  qui sont négatifs tous les deux.

on veut maintenant comparer  (u-)²   et  (v-)²   à partir de  u-   v-  

fais bien attention au sens de l'inégalité que tu dois écrire en élevant au carré.
(Si tu doutes   fais le sur ton brouillon   avec    -4  <  -3  )

(u-)²=u²-2u+²
(v-)²=v²-2v+²

u²-2u++²v²-2v+²
(u-)²(v-)²

Yahiko

laisse tomber la forme développée ! tu vois bien que ça ne t'avance à rien....
est ce que tu lis bien mes messages ?


- 4   <   - 3      quand tu élèves au carré n ca donne quoi ?

je dois partir.
Si personne ne vient relayer, je te retrouve ce soir.
OK ?

J'ai pas compris ..
D'accord , merci pour votre aide

Leile essaye de te faire trouver que lorsque on élève au carré une inégalité entre deux nombre négatifs, il ne faut pas oublier de renverser le sens de l'inégalité.
Exemple -4 < -3 (-4)² > (-3)²
Donc ici tu as une inégalité entre deux valeurs négatives
u- v-
si tu élèves au carré, n'oublie pas de renverser le sens de l'inégalité

(u-)²(v-)²

oui, c'est ça !

comme les deux termes sont négatifs, l'inégalité s'inverse quand tu élèves au carré.

à présent il faut multiplier par  a  

si a   est   positif, qu'est ce que tu obtiens ?

si je multiplie par a
a(u-)²(v-)²
je dois développé ?

je rectifie
a(u-)²a(v-)²

Yahiko, non tu ne développes pas !   Je t'ai déjà conseillé de ne pas développer. La forme développée ne t'avance pas pour cet exercice (on te conseille la forme canonique dès le début)
Tu es presque au bout à présent.

en effet, si a est positif, le sens de l'inégalité ne change pas  donc
a(u-)²(v-)²
en ajoutant de chaque coté :
a(u-)²+(v-)²+
f(u) f(v)

je résume :
pour u v
avec a>0
on obtient f(u) f(v)
que peux tu en déduire pour f :  croissante ou décroissante ?

oui, j'ai oublié aussi d'ajouter le a manquant...  

puisque a>0 , f est décroissante

tu cherches à démontrer que quand a >0    et   u < v <   , alors  f est décroissante.
Tu ne peux pas te contenter de dire "puisque a>0"
Tu dois utiliser autre chose pour conclure : (l'énoncé te donne la piste : En déduire une comparaison de f(u) et f(v) et conclure)

une fonction f est décroissante  quand les réels de l'intervalle I et leurs images par f sont rangés dans un ordre contraire.

ici,  a>0,  u<v<   , on a montré que f(u) > f(v)   donc  f est décroissante sur l' intervalle ]-oo , ]

tu vois ?

Tu peux passer à la dernière question :

- Reprendre la démonstration avec deux nombres réels u et v appartenant à[; +[ tels que uv

D'accord ,
Que dois je faire pour répondre à cette question ?

??     as tu compris ce qu'on a fait précedemment ?

"reprendre la démonstration"  =  faire la même chose sauf que u et v sont maintenant plus grands que

tu pars donc de    

  <  u   <  v

tu enlèves partout,
tu élèves au carré
tu multiplies par a>0
tu ajoutes
et tu compares f(u) et f(v).

Vas y ! lance toi !

bonsoir,
tu as terminé ?

(u-)(v-)
(u-)²(v-)²
a(u-)²a(v-)²
a(u-)²+a(v-)²+

f(u)f(v)

mmhh...   Yahiko, tu t'es contentée de recopier, mais ça n'est pas suffisant.. Reprendre une démonstration ne t'empêche pas de vérifier (justifier) chaque ligne.


tu pars donc de    

   <  u   <  v

tu enlèves partout  :   tu l'as fait ??
cette fois quel est le signe de (u-) et (v- ) ?

tu élèves au carré  : tu as changé le sens de l'inégalité : tu peux me dire pourquoi ? Comment tu justifies ?
tu multiplies par a>0
tu ajoutes
et tu compares f(u) et f(v).
toi tu arrives à f(u)>f(v)  donc la même conclusion que precedemment, ça voudrait dire que f est aussi décroissante sur cet intervalle ( u et v > ). Est ce que c'est possible, à ton avis ?

(u-) et (v-) sont négatifs
J'ai changé le sens de l'inégalité car je les ai mis au carré et donc ils deviennent positifs .
Je pense que ce n'est pas possible que f est aussi décroissante sur l'intervalle

Yahiko, je suis désolée car je crois que tu ne me suis pas..

tu ne fais pas ce que je te demande, je n'arrive pas à suivre ton raisonnement...

Nous sommes dans la dernière question :
u et v appartenant à[; +oo[ tels que u v
tu pars donc de    
  <  u   <  v

tu enlèves   partout  : fais le !
et dis moi ensuite le signe de (u-) et (v-)

(u-)<(v-)
Le signe de (u-) et (v-) est négatif

voyons Yahiko,
si j'insiste c'est que quelque chose ne va pas...

tu pars donc de    
  <  u   <  v

tu enlèves   partout
ca donne
  
- <  u  - <  v -
soit     0  <  u- <  v-

u- et   v-  sont positifs !
Ils étaient négatifs en question 1, car on avait pris u et v inférieurs à ,
mais cette fois on prend u et v supérieurs à .

ainsi
u- <  v-    
(u-)² <  (v-)²
l'égalité ne change pas de sens
et  
a(u-)² + <  a(v-)² +
donc   f(u) < f(v)     quand   < u < v
les images et les antécedents sont dans le même ordre
donc f est .......   (croissante ou décroissante ?).

f est croissante car a>0 ,   <  u   <  v donc f(u)<f(v) sur l'intervalle [; +[

avec a  >0   et   <u <v,
tu as montré que f(u) < f(v).
Quand les images et les antécedents sont dans le même ordre, f est croissante.

as tu compris ce qui a été fait ?

D'accord merci

En fonction de quoi savons-nous que une fonction est croissante ou décroissante ?

les images et les antécedents sont dans le même ordre , c'est à dire ?

tu prends deux antécédents  x1  et x2    tels que x1  <   x2  

Si   f(x1)  <  f(x2)      : les images sont classées  dans le même ordre que les antécédents (x1 plus petit que x2  et f(x1) plus petit que f(x2)  ).    Alors la fonction est croissante.

si f(x1) >  f(x2)     :    les images ne sont pas classées  dans le même ordre que les antécédents (x1 plus petit que x2  et f(x1) plus grand que f(x2)  ).    Alors la fonction est décroissante.

C'est ce que je te disais le 26 à    12:48    en bleu.

ca va pour toi ?

regarde la partie "sens de variation " de cette fiche
un cours sur le sens de variation d'une fonction

D'accord merci infiniment pour votre aide
Bonne journée

je t'en prie, bonne journée à toi aussi.