Bonjour,

Peut-être avec les dérivées ? Les fonctions polynomes sont les seules dont les dérivées sont identiquement nulles à partir d'un certain rang...

Ben, il me semble que f(x)=(x^2-1)/(x-1) n'est pas un polynôme ! Moyennant une simplification on voit qu'on peut certes lui donner la forme d'un polynôme, mais pour moi f(x) est une fraction rationnelle ! Je pense que le bouquin joue un peu trop sur les mots !
D'autre part f(x)=cos²x+sin²x n'est pas davantage un polynôme ! Pourquoi pas ? Faut pas pousser ! Le livre exagère !
D'autant plus qu'en première et même en terminale un pourcentage non négligeable d'élèves n'auront absolument pas l'idée de simplifier cos²(x)+sin²(x) et risque de se faire une idée très très fausse d'un polynôme !!!

Je suis d'accord avec toi ! Il faut proscrire ces exemples...

Enfin, je ne suis pas prof de maths, mais je donne mon humble avis...

Bonjour

pour cos²x + sin²x, on apprend en troisième que ça vaut 1 pour tout x. pas de problème, on a bien un polynome

en revanche, la fraction n'étant pas définie en 1 ne peut pas etre un polynome, meme si elle coincide avec le polynome x+1 pour tout x distinct de 1

pour des fractions rationnelles définies sur IR, par exemple 1/(x²+1), on peut s'en sortir en disant que si c'était un polynome, en multipliant par x²+1, on arrive à une absurdité sur les degrés ....

après il reste les trucs comme (x²+1)(x²+4)/(x²+1) (donnés avec le numérateur développé, sinon c'est pas drole ), et là, à coup de degré et d'identification, on doit réussir à retrouver que c'est le polynome x²+4

oui c'est le problème des FONCTIONS polynômes , par exemple on pourrait dire que la fraction rationnelle précédente est bien une FONCTION polynôme sur [2,123]  mais n'est pas un POLYNôme . Peut-être bien insister sur l'ensemble de définition qui est lié à la fonction...pour les quelques uns qui verront un jour ce qu'est un polynôme (un vrai pas une fonction).

une autre condition suffisante : un polynôme non nul n'a qu'un nombre fini de racine (à faire en exo) par exemple  sin(x)  n'est donc pas une fonction polynôme.