premier passage dans la boucle k avec k=1
j varie de 1 à 1
S=0+1 =1

deuxième passage dans la boucle k avec k=2
j varie de 1 à 2
j=1 => S=1+1=2
j=2 => S=2+1=3

troisième passage dans la boucle k avec k=3
j varie de 1 à 3
j=1 => S=3+1+4
j=2 => S=4+1=5
j=3 => S=5+1=6

On en déduit que au sortir d'une boucle k alors S=1+2+3+ ...+k

au passage dans la boucle où k=n
j varie de 1 à n avec S = 1+2+3+ ...+ (n-1) que j'apelle s(n-1)
j=1 => S=s(n-1)+1
j=2 => S=s(n-1)+2
etc.
j=n => S=s(n-1)+n= 1+2+3+ ...+ (n-1) +n qu'on apelle s(n)

s(n) correspond donc à la somme des n premiers entiers naturels.
NOTA : s(n)=n(n+1)/2 exemple avec n=3 s(3)=3x4/2=6 c'est ce qu'on a trouvé