Attention, certains énoncés ne sont pas clairs.

1)
a)
f(x) = V(1+x) -1 - (x/2) + (x²/8)  
f '(x) = 1/(2V(1+x)) - (1/2) + (1/4)x
f ''(x) = -1/(4V(1+x)³) + (1/4)
-----
b)
Prouver que, pr tt réel x on a
[(1+x)V(1+x)] -1= (x³ + 3x²+3x)/[(1+x)V(x+1) +1]
En déduire le signe de (1+x)V(1+x) -1 pr x>ou= à 0.

[(1+x)V(1+x)] -1 =? (x³ + 3x²+3x)/[((1+x)V(x+1)) +1]

[((1+x)V(1+x)) -1].[((1+x)V(x+1)) +1] =? (x³ + 3x²+3x)
Penser à (a - b)(a + b) = a² - b²   ->

[((1+x)V(1+x))² -1²] =? (x³ + 3x²+3x)
(1+x)³ - 1 =? (x³ + 3x²+3x)
1 + 3x² + 3x + x³ - 1 =? x³ + 3x²+3x
3x² + 3x + x³ =? x³ + 3x²+3x

-> OK
---
[(1+x)V(1+x)] -1 =? (x³ + 3x²+3x)/[((1+x)V(x+1)) +1]
Le membre de droite est > 0 pour x >= 0
-> le membre de gauche aussi et donc:
[(1+x)V(1+x)] -1 >= 0 pour x >=0
---------------------------
c)
f ''(x) = -1/(4V(1+x)³) + (1/4)
f ''(x) = (1/4).(1 - 1/(V(1+x)³)
f ''(x) = (1/4).(V(1+x)³ - 1)/(V(1+x)³)
f ''(x) = (1/4)(1+x)V(1+x) - 1)/(V(1+x)³)

On a montré dans la partie b que (1+x)V(1+x) - 1) > 0 pour x >= 0
Comme (V(1+x)³) est aussi > 0 pour x >= 0, on a:
f ''(x) > 0 pour x >= 0  -> f '(x) est croissante.

f '(0) =  1/(2V(1+0)) - (1/2) + (1/4)*0
f '(x) = 0
Et comme f'(x) est croissante si x >= 0
On a f'(x) >= 0 pour x >= 0 -> f(x) est croissante.

Donc f(x) est croissante sut [0 ; oo[
----------------------------
d)
1+(x/2) - (x²/8) <=? à V(1+x)
1+(x/2) <=? à V(1+x) + (x²/8)
Les 2 membres de l'inéquation étant > 0, on ne change pas le sens
de l'inéquation en élevant les 2 membres au carré ->

1 + x + (x²/4) <= ? 1 + x + (x^4/64) + (x²/4).V(1+x)
(x²/4) <= ? (x^4/64) + (x²/4).V(1+x)

Ce qui est évident puisque on a:
1 <= V(1+x)
(x²/4) <= (x²/4).V(1+x)
et a fortiori, en augmentant encore le second membre: (x²/4) <=  (x^4/64)
+ (x²/4).V(1+x)

Donc on a bien: 1+(x/2) - (x²/8) <= à V(1+x)
------------------------------

Cela devient trop long pour moi...
Essaie de continuer seule (c'est facile) ou attend l'aide d'un
autre volontaire.