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fonctions réciproques

Posté par derby3 (invité) 03-10-05 à 11:11

Est-il possible de retrouver les dérivées des fcts réciproques circulaires (arc cos, arc sin et arc tan) grâce aux fcts "normales" cos sin tan?

Merci.

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : fonctions réciproques 03-10-05 à 11:45

f(x) = arccos(x)  avec x dans [-1 ; 1] -> 0 <= f(x) <= Pi
y = arccos(x)
cos(y) = x

-sin(y) dy = dx
dy/dx = -1/sin(y)

Et avec 0 <= y <= Pi, on a sin(y) = V(1-cos²(y)) avec V pour racine carrée.

dy/dx = -1/V(1-cos²(y))  
dy/dx = -1/V(1-x²)
f '(x) = -1/V(1-x²)
-----
f(x) = arcsin(x)  avec x dans [-1 ; 1] -> -Pi/2 <= f(x) <= Pi/2
y = arcsin(x)
sin(y) = x

cos(y) dy = dx
dy/dx = 1/cos(y)

Et avec -Pi/2 <= y <= Pi/2, on a cos(y) = V(1-sin²(y)) avec V pour racine carrée.

dy/dx = 1/V(1-sin²(y))
dy/dx = 1/V(1-x²)
f '(x) = 1/V(1-x²)
-----
f(x) = arctg(x)  avec x dans ]-oo ; oo[ et -Pi/2 <= f(x) <= Pi/2
y = arctg(x)
tg(y) = x

dy/cos²(y) = dx
dy/dx = cos²(y)
dy/dx = 1/(1+tg²(y))
dy/dx = 1/(1+x²)
f '(x) = 1/(1+x²)
-----
Sauf distraction.  

Posté par derby3 (invité)re : fonctions réciproques 03-10-05 à 12:35

thanks.

Posté par Guillaume (invité)re : fonctions réciproques 03-10-05 à 12:55

ou bien appliquer :
(f^(-1))'=1/f'°f^(-1)



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