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Fonctions réelles

Posté par
hiimgosu
01-12-17 à 11:30

Bonjour , j'ai besoin d'aide a propos de cette question :
Soit F une fonctions à valeurs réelles , F et F'' étant bornées , ll F ll 1 ,
ll F" ll 8 .
Démontrer que l F'(0) l < 4 ( on pourra traiter d'abord le cas F(0) 0 , F'(0) 0 et établire tF'(0) 1 + 't² pour tout t de .
Démontrer que F' est bornée et que ll F' ll < 4 .
je n'ai vraiment pas d'idées par ou commencer ,  ll F ll = sup F(t) avec t

Posté par
jsvdb
re : Fonctions réelles 01-12-17 à 12:01

Bonjour hiimgosu.

Tout va tourner autour de ceci :

\begin {aligned} F(x) & = F(0) + \int_{0}^{x}{F'(t)dt} \\ & = F(0) + \int_{0}^{x}{\left( F'(0) + \int_{0}^{t}{F''(\xi) d \xi}\right) dt}} \end {aligned}

et les majorations classiques :

\begin {aligned}\left |\int_{0}^{x}{G(t)dt}\right| \leq ||G||_\infty.x \end {aligned}

Posté par
hiimgosu
re : Fonctions réelles 01-12-17 à 12:04

D'accord , merci  , je vais essayer avec ces indications .

Posté par
hiimgosu
re : Fonctions réelles 01-12-17 à 12:18

Pourriez vous me dire pourquoi on nous demande de traiter d'abord le cas de F(0) > 0 , F'(0) ?

Posté par
hiimgosu
re : Fonctions réelles 01-12-17 à 12:26

je réctifie Démontrer que l F'(0) l < 4 ( on pourra traiter d'abord le cas F(0) 0 , F'(0) 0 et établire tF'(0) 1 + 4t² pour tout t de .

Posté par
jsvdb
re : Fonctions réelles 01-12-17 à 12:29

Oui, pour le 4 j'avais rectifié.

hiimgosu @ 01-12-2017 à 12:18

Pourriez vous me dire pourquoi on nous demande de traiter d'abord le cas de F(0) > 0 , F'(0) ?

Écris les choses et tu verras apparaître la raison ...
F(x) = F(0) + A(x) + B(x)  
Que valent A(x) et B(x) ?

Posté par
hiimgosu
re : Fonctions réelles 01-12-17 à 12:38

F(x) = F(0) + xF'(0) + ( F'(t) - F'(0) ) dt ( integral de 0 à  x )

Posté par
jsvdb
re : Fonctions réelles 01-12-17 à 12:57

On va essayer d'être un poil plus précis :

\begin {aligned} F(x) = F(0) + x.F'(0) + \underbrace{\int_{0}^{x}{\int_{0}^{t}{F''(\xi)d\xi} } }_{\text{que faire de ce terme ?}} \end {aligned}

Et tu sais que -1 \leq F(x) \leq 1, ce qui constitue deux inégalités. Selon le signe de F(0), tu vas utiliser l'une ou l'autre.

Donc à étudier 0 \leq F(0) \leq 1 puis -1 \leq F(0) \leq 0 ... à toi !

Posté par
hiimgosu
re : Fonctions réelles 01-12-17 à 13:02

humm d'accord merci encore , je vois plus clair , je vais essayer

Posté par
hiimgosu
re : Fonctions réelles 01-12-17 à 13:36

J'ai bien compris l'idée mais j'ai toujours des problèmes de rédaction et de rigeur ( pour les inégalités et les signes .... ) , les termes souhaité sont apparu mais j'arrive pas à bien distinguer les cas .

Posté par
jsvdb
re : Fonctions réelles 01-12-17 à 14:37

Je note A(x) = \int_{0}^{x}{\int_{0}^{t}{F''(\xi)d\xi} }.
Je l'ai noté A(x) mais il ne va pas falloir le laisser sous cette forme.

Tu as -1 \leq F(x) \leq 1 donc -1 \leq F(0) + x.F'(0) + A(x) \leq 1

1er cas : F(0) positif donc  x.F'(0) \leq 1-F(0)-A(x) avec 0\leq 1-F(0) \leq 1

1er sous-cas F'(0) positif donc ...
2d sous-cas F'(0) négatif donc ...

2d cas : F(0) négatif donc ...

Tuyaux : il va y avoir des discriminants à calculer

Posté par
hiimgosu
re : Fonctions réelles 01-12-17 à 17:12

D'accord merci beaucoup , je vais m'y remetre

Posté par
hiimgosu
re : Fonctions réelles 01-12-17 à 18:28

Re ,
je voudrai savoir pourquoi on va étudier les cas des sgine de F'(0) .
je trouve l A (x) l < ll F" ll x²/2 < 4x² , mais a partir de l'inégalité qu'on a ..
on trouve x F'(0 ) < 1 - F(0) - A(x) < 1 - A(x) ( * )
on a l A(x) l < 4 x² ===> -4x² < A(x) < 4x² ===> -A(x) < 4x² ===> 1-A(x) < 1+4x²
ce qui nous mène a dire d'apres (*) que xF'(0) < 1+4x² sauf erreur ...
justification de  l A (x) l < ll F" ll x²/2 :
l F"(u) du l < ll F" ll du < ll F" ll t
et donc F"(u) du < ll F" llt dt = ll F" ll t²/2 < 4t² ( j'ai utlisé le fait que l'integ de la valeur absolue est supérieur a la valeur absolue ... et pour les borne c'est de 0 à t et de 0 a x comme deja noté plus haut )
merci d'avance , je ne sais pas si mon raisonnement tient la route

Posté par
hiimgosu
re : Fonctions réelles 01-12-17 à 18:29

pour la dérnière ligne de calcul , remplacer t par x ...

Posté par
jsvdb
re : Fonctions réelles 03-12-17 à 01:00

Citation :
ce qui nous mène a dire d'apres (*) que xF'(0) < 1+4x² sauf erreur ...

donc tu as un trinôme du second degré strictement positif : son discriminent est nul et tu en déduit une majoration de F'(0).
Même raisonnement pour le cas F'(0) < 0 où tu déduis une majoration de F'(0) par -4
Et finalement |F'(0) < 4|

Puis pour F(0) < 0 tu utilises le côté gauche de l'inégalité -1 \leq F(0) + x.F'(0) + A(x) \leq 1 avec à nouveau la distinction du signe de F'(0).

Enfin, tu généralises ce calcul à tout x réel.

A rapprocher de f et f'' bornées impliquent f' bornée

Posté par
hiimgosu
re : Fonctions réelles 03-12-17 à 11:05

c'est exactement ce que j'avais fait merci pour vos réponses encore une fois , ca m'a été d'un très grand aide



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