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Niveau terminale
Fonctions trigo
Posté par Dracomathis
Bonjour à tous !
J'ai un exercice à faire pour lundi et je suis un peu bloqué...
Alors voilà l'énoncé :
On considère la fonction f(x)= 1/(sin x - cos x)^2
1) Démontrer que f est périodique de période pi
2) Préciser la parité ou l'imparité de f
3) Donner alors un domaine d'étude et son domaine de définition
4) Etudier la dérivabilité de f et calculer sa dérivée
5) Donner le signe de la dérivée
6) Donner le sens de variation de la fonction (tableau complet)
7) La représenter graphiquement
Alors j'ai réussi de la question 1 à la question 3 mais je voudrais avoir quelques précisions si possible pour cette question :
J'ai mis que nous allions l'étudier sur (0; pi) et qu'elle était définie sur R/pi/4 modulo 2pi
Après j'ai un peu de mal pour la suite... Pour la dérivabilité, j'ai dis quelle était ici dérivable sur le même ensemble que son ensemble de définition.
Mais que nous allions étudier sa dérivée uniquement sur don domaine d'étude, et donc ici elle sera dérivable sur (0;pi/4 ( U ) pi/4; pi)
Pour la dérivée, je trouve f'(x)= -2(cos x + sin x) ( sin x - cos x)^-3
Seulement, je suis bloqué pour la suite, pourriez-vous m'aider ?
Merci !
Bonjour,
Tu peux multiplier la dérivée en haut et en bas par (sin x - cos x).
Tu auras alors au dénominateur une puissance 4, toujours positive, et un dénominateur en sin² x - cos ² x dont le signe sera plus facile à étudier.
Ok d'accord merci 
Alors je trouve la dérivée qui devient :
f'(x)= -2(cos x + sin x) ( sin x - cos x ) / -2 (sin x -cos x)^4
Du coup pour le signe je dois résoudre les équations :
cos x+ sin x = 0 ; je ne trouve pas de solution :/
sin x - cos x = 0 ; je trouve x = pi/4
-2 (sin x -cos x)^4 = 0 ; soit sin x - cos x = 0 et donc on trouve le même résultat qu'au dessus ?
Est ce que c'est ça ? Encore merci !
C'est bon mais il y a plus simple. Le numérateur de f'(x) s'écrit :
N(x) = 2(cos²x - sin²x)
Que tu peux encore écrire :
N(x) = 2(1 - tan²x)/sin²x
Du coup, le signe du numérateur est donné par celui de 1 - tan²x, qui est positif quand tan²x < 1, donc quand tan x est compris entre -1 et +1, donc quand x est compris entre -
/4 et +/4, et négatif à l'extérieur de cet intervalle.
Merci pour ta réponse Je ne comprends juste pas comme N(x) devient 2(1 - tan²x)/sin²x
Je n'ai pas vu la formule de la tangente en cours... Pourrais-tu m'expliquer ?
Est ce que je peux faire :
2(cos²x - sin²x) = 0
cos 2x = 0
En posant X = 2x,
cos X = 0 donne X=pi/42modulo 2 pi ou X= 3pi/2 modulo 2 pi
Soit x = pi/ 4 ou x=3pi/4 ?