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Forme bilinéaire

Posté par
zartos
29-11-20 à 15:13

Salut,

Soit la forme bilinéaire  a : \R^n * \R^n \rightarrow \R

a(x,y) = \sum_{i,j=1}^n a_{ij}x_{i}y_{j}   pour a_{ij} \in \R,  x = \begin{pmatrix}x_1\\.\\.\\.\\x_n\\\end{pmatrix} ,   y = \begin{pmatrix}y_1\\.\\.\\.\\y_n\\\end{pmatrix}

Montrer que si a est positive (  a(x,x) > 0  \forall x \in \R^{n } \char`\\ \{0\}  ) alors il existe un \alpha > 0 tel que a(x,x) \ge \alpha||x||_{2}^2

Merci d'avance

Posté par
carpediem
re : Forme bilinéaire 29-11-20 à 15:52

salut

sachant qu'une forme bilinéaire (voire un produit scalaire) est linéaire alors pour tout scalaire p et q on a(px, qy) = |pq|a(x, y)

on peut donc regarder ce qui se passe lorsque ||x|| = 1 ...

Posté par
zartos
re : Forme bilinéaire 29-11-20 à 19:07

Je crois avoir trouvé la solution, il me manque juste de justifier l'existence de \alpha

en posant \alpha = \underset{||x||_{2} = 1}{\mathrm{min}} a(x,x)

on a  \alpha \ge 0 ( car a est definie positive  )

et \alpha \neq 0 car sinon il existerait un x_0, ||x_0|| tel que a(x_0,x_0) = \alpha = 0 ce qui est contradictoire car a est définie positive donc on a \alpha > 0

\forall x \neq 0, a(\dfrac{x}{||x||_2},\dfrac{x}{||x||_2}) \ge \alpha puis en multipliant par ||x||_2^2 on obtient l'inégalité.


Posté par
carpediem
re : Forme bilinéaire 29-11-20 à 19:35

plus simplement la fonction x --> a(x, x) est continue (dimension finie) sur le compact { x / ||x|| = 1} donc est bornée et atteint ses bornes ...

Posté par
zartos
re : Forme bilinéaire 29-11-20 à 19:42

Merci!!

Posté par
carpediem
re : Forme bilinéaire 29-11-20 à 20:19

de rien



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