Bonjour, je ne comprends comment trouver la forme de Jordan d'une matrice. Soit A = . Je dois trouver une forme de Jordan. Je calcule le polynôme caractéristique qui est (X²-4)². On a deux valeurs propres doubles. Après je ne comprends plus, on me dit, on calcule Rang(A-2I) s'il vaut 3,on trouve une forme de Jordan de taille 2, s'il vaut 2 on trouve deux matrices de Jordan de taille 1. Pareil en calculant Rang(A+2I). Je ne comprends pas l'obtention du résultat. Pareil pour la matrice A =
. On me dit que Rang(A+2I)=2 donc A est semblable à
. Je ne vois pas pourquoi.
Bof, j'ai pas trop compris. En fait j'essaye de comprendre le lien entre le rang de A-I où
est une certaine valeur propre de A et les mij de
où les pi sont des polynômes irréductibles, divisant le polynôme minimal ou caractéristique de A.
Oui en effet, faute de frappe c'est bien -2. Quel est le lien entre le rang et les mij ( taille des blocs de jordan ) ?
Le polynôme caractéristique (qui est d'après ce que tu dis -(X-2)(X+2)²) est scindé donc A est triangulable et même a une réduction de Jordan.
A a pour diagonale, dans sa réduite de Jordan,2, -2,-2 qui sont les valeurs propres.
Donc la réduite de Jordan de A est soit:qui correspond à A diagonalisable,soit
qui correspond à A non diagonalisable.
Tu dis que rg (A+2I) = 2.
A+2I "élimine les -2 de la diagonale", donc
A+2I = de rang 1 qui correspond à A diagonalisable,soit
de rang 2 qui correspond à A non diagonalisable.
C'est ton cas ici d'après ce que tu as indiqué.
Ah d'accord, parfait j'ai capté. Et à quoi certaines de calculer dans certains cas. Quelles sont les informations qu'il nous donne ??
Ca dit "combien de 1 il y aura sur la surdiagonale de ta réduite de Jordan".
Si, par exemple, dans E3, est racine d'ordre 3 du polynome caract.,
rg(A-I)= 2 signifie qu'il y a 2 nombres 1 sur la surdiagonale dans la réduite de Jordan
rg(A-I)= 1 signifie qu'il y a 1 nombres 1 sur la surdiagonale dans la réduite de Jordan
rg(A-I)= 0 signifie qu'il y a 0 nombres 1 sur la surdiagonale dans la réduite de Jordan (cas de la diagonalisabilité)
Si, par exemple, dans E5, est racine d'ordre 3 du polynome caract.,
rg(A-I)= 4 signifie qu'il y a 2 nombres 1 sur la surdiagonale dans la réduite de Jordan
rg(A-I)= 3 signifie qu'il y a 1 nombres 1 sur la surdiagonale dans la réduite de Jordan
rg(A-I)= 2 signifie qu'il y a 0 nombres 1 sur la surdiagonale dans la réduite de Jordan (cas de la diagonalisabilité)
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