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Niveau Licence Maths 1e ann
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Forme de Jordan d'une matrice

Posté par
Eriic
08-05-13 à 10:47

Bonjour, je ne comprends comment trouver la forme de Jordan d'une matrice. Soit A = \begin{pmatrix}
 \\ 0 &   1 & -2i & 0\\
 \\ 0  &  0 & 0 & -2i
 \\ 2i  &  0 & 0 &  1
 \\ 0  &  2i & 0 &  0
 \\ \end{pmatrix}. Je dois trouver une forme de Jordan. Je calcule le polynôme caractéristique qui est (X²-4)². On a deux valeurs propres doubles. Après je ne comprends plus, on me dit, on calcule Rang(A-2I) s'il vaut 3,on trouve une forme de Jordan de taille 2, s'il vaut 2 on trouve deux matrices de Jordan de taille 1. Pareil en calculant Rang(A+2I). Je ne comprends pas l'obtention du résultat. Pareil pour la matrice A = \begin{pmatrix}
 \\ 0 &   4 & 2\\
 \\ -1 &  -4 & -1
 \\ 0  &  0 & 2 
 \\ \end{pmatrix}. On me dit que Rang(A+2I)=2 donc A est semblable à \begin{pmatrix}
 \\ 2 &   0 & 0 \\
 \\ 0  &  -2 & 1 
 \\ 0  &  0 &  1
 \\ \end{pmatrix}. Je ne vois pas pourquoi.

Posté par
jeanseb
re : Forme de Jordan d'une matrice 08-05-13 à 11:47

Bonjour

Ceci (notamment l'exemple 2) répond-il à tes questions?:

Posté par
Eriic
re : Forme de Jordan d'une matrice 08-05-13 à 13:02

Bof, j'ai pas trop compris. En fait j'essaye de comprendre le lien entre le rang de A-I où est une certaine valeur propre de A et les mij de (E,A)\cong\bigoplus_{i=0}^n\bigoplus_{j>0}(\frac{k[X]}{{p_{i}}^{j}})^{m_{ij}} où les pi sont des polynômes irréductibles, divisant le polynôme minimal ou caractéristique de A.

Posté par
jeanseb
re : Forme de Jordan d'une matrice 08-05-13 à 13:14

Ta dernière matrice doit être fausse: c'est -2 et pas 1 sur la dernière diagonale.

Posté par
Eriic
re : Forme de Jordan d'une matrice 08-05-13 à 14:07

Oui en effet, faute de frappe c'est bien -2. Quel est le lien entre le rang et les mij ( taille des blocs de jordan ) ?

Posté par
jeanseb
re : Forme de Jordan d'une matrice 08-05-13 à 14:32

Le polynôme caractéristique (qui est d'après ce que tu dis -(X-2)(X+2)²) est scindé donc A est triangulable et même a une réduction de Jordan.

A a pour diagonale, dans sa réduite de Jordan,2, -2,-2 qui sont les valeurs propres.

Donc la réduite de Jordan de A est soit:\begin{pmatrix}2&0&0\\0&-2&0\\0&0&-2\end{pmatrix}qui correspond à A diagonalisable,soit \begin{pmatrix}2&0&0\\0&-2&1\\0&0&-2\end{pmatrix} qui correspond à A non diagonalisable.

Tu dis que rg (A+2I) = 2.

A+2I "élimine les -2 de la diagonale", donc

A+2I =  \begin{pmatrix}4&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix} de rang 1 qui correspond à A diagonalisable,soit \begin{pmatrix}4&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix} de rang 2 qui correspond à A non diagonalisable.

C'est ton cas ici d'après ce que tu as indiqué.

Posté par
Eriic
re : Forme de Jordan d'une matrice 08-05-13 à 14:55

Ah d'accord, parfait j'ai capté. Et à quoi certaines de calculer rang(A-\lambda~Id)^{2}&rang(A-\lambda~Id)^{3}... dans certains cas. Quelles sont les informations qu'il nous donne ??

Posté par
Eriic
re : Forme de Jordan d'une matrice 08-05-13 à 15:12

Sert*

Posté par
jeanseb
re : Forme de Jordan d'une matrice 08-05-13 à 15:25

Ca dit "combien de 1 il y aura sur la surdiagonale de ta réduite de Jordan".


Si, par exemple, dans E3, est racine d'ordre 3 du polynome caract.,

rg(A-I)= 2 signifie qu'il y a 2 nombres 1 sur la surdiagonale dans la réduite de Jordan


rg(A-I)= 1 signifie qu'il y a 1 nombres 1 sur la surdiagonale dans la réduite de Jordan



rg(A-I)= 0 signifie qu'il y a 0 nombres 1 sur la surdiagonale dans la réduite de Jordan (cas de la diagonalisabilité)



Si, par exemple, dans E5, est racine d'ordre 3 du polynome caract.,

rg(A-I)= 4 signifie qu'il y a 2 nombres 1 sur la surdiagonale dans la réduite de Jordan


rg(A-I)= 3 signifie qu'il y a 1 nombres 1 sur la surdiagonale dans la réduite de Jordan



rg(A-I)= 2 signifie qu'il y a 0 nombres 1 sur la surdiagonale dans la réduite de Jordan (cas de la diagonalisabilité)

Posté par
Eriic
re : Forme de Jordan d'une matrice 08-05-13 à 16:00

À quoi correspond E3 et E5 ? Ça donne quoi avec les puissances les rang que tu as écris en fait ?

Posté par
jeanseb
re : Forme de Jordan d'une matrice 08-05-13 à 16:24

E3 = matrices 3-3

E5 = matrices 5-5

Posté par
Eriic
re : Forme de Jordan d'une matrice 08-05-13 à 16:33

Ok. Je n'ai pas compris le rapport entre ton explication et les calculs de \large~Rang(A-\lambda~Id)^k pour un certain k...



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