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Forme exponentielle et limites de fonction
Bonjour, j'aimerais avoir de l'aide pour un exercice auquel je bloque svp,
Soit f la fonction définie sur [0; + 00[ par :
f(x) = ((x²+x+1)/(x²))*e^((-1)/x) pour x > 0 et f(0) = 0
On note C sa courbe représentative dans u repère orthonormal (o;i,j)
1. (a) Démontrer que la droite Delta d'équation y=1 est asymptote à C
(b) Pour x > 0, calculer (f(x)-f(0))/x
Etudier la limite de cette expression quand x tend vers 0 ( on pourra poser u = 1/x et utiliser, pour n naturel non nul, limite x ->+00 u^n*e^(-u) = 0)
Que peut-on déduire pour la fonction f ?
Que peut-on déduire pour la courbe C
(c) Démontrer que, pour tout x de [0; + 00[, on a :
f'(x)=((1-x)/(x^4)) * e^((-1)/x)
Réponses :
1)Pour démontrer que cette droite est asymptote je fais lim f(x) quand x tend vers -00 puis la même chose en +00 et je vais trouver 1 :
Il y a une forme indéterminée de la forme Infini/Infini donc:
(x²+x+1*e^(-1/x))/(x²)
Je ne vois pas comment faire ensuite merci pour votre aide
Merci,
lim f(x) (quand x tend vers +00) :
x²(1+x/x²+1/x²*e^(-1/x)/x²)/x²
lim 1/x = 0
lim 1/x² = 0
lim e^(-1/x)/x²=0
donc lim f(x) (lorsque x tend vers +00) = 1
la même chose lorsque x tend vers -00
Est-ce cela ?
(x²+x+1*e^(-1/x))/(x²)
donc,
(e^(-1/x)(1+x²/e^(-1/x)+x/e^(-1/x)))/(x²)
mais du coup ca ferait que limite de f(x) lorsque x tend vers +00 vaut 0 puisqu'il reste que 1/x²
simplement
(x²+x+1)/x² = 1+1/x+1/x² donc tend vers 1
c'est donc e^(-1/x) qui fait la limite et ça tend vers e^0=1
merci, pour le (b) je dois donc faire la limite de f(x)/x lorsque x tend vers 0
(((x²+x+1)/x²)*e^(-1/x))/x)
= (x²+x+1*e^(-1/x))/x^3
si l'on remplace par 0 cela fait :
0+0*e^(-1/0)/0
donc f(x)/x (lorsque x tend vers 0-) = -00
Cela fait donc 0/0 ; c'est une forme indéterminée.
Pour la lever, utilise donc l'indication donnée dans l'énoncé.
Je ne vois pas où intégrer cette indication dans ce que je viens de faire pourriez-vous m'aiguiller s'il vous plaît
f(x)/x = (x²+x+1)e-1/x/x3 =(1/x+1/x²+1/x3)e-1/x
donc l'énoncé te propose de poser u = 1/x avec un u qui tend vers + l'infini
tu as essayé au moins ? (u+u²+u3)e-u ça tend vers quoi ?
A présent je comprends mieux :
si l'on pose u=1/x on a donc :
u^3(1/u²+1/u+1)e^(-u)
= (u+u²+u^3)e^(-u)
lim f(x)/x (quand x tend vers 0+) = lim (u+u²+u^3)e^(-4) (quand u tend vers +OO) = 0+
Est-ce cela ? merci
pour c je trouve ceci :
f(x) = (x²+x+1)/(x²) * e^((-1)/x)
On pose t(x) = (x²+x+1)/(x²) et h(x) = e^((-1)/x)
On a donc f = t * h
h'(x) = (1/(x²))*e^((-1)/x)
t'(x) = ((-x)²-2x)/(x^4) (on a utilisé u/v)
maintenant avec f = t * h (on utilise u*v)
cela donne f' = t' * h + h' * t
donc :
f(x) = ((-x)²-2x)/(x^4) * e^((-1)/x) + (1/(x²))*e^((-1)/x) * (x²+x+1)/(x²)
((-x²-2x*e^((-1)/x))/x^4)+((x²+x+1*e((-1)/x)/x^4)
= ((1-x)/x^4)*e^((-1)/x)
Cependant j'ai oublié une question dans l'énoncé :
2) On note g la fonction définie sur ]0;+OO[ par g(x) = f(x)-x*f'(x).
Montrer que dans ]0;+OO[ les équations g(x) = 0 et x^3 +x²+2x-1 = 0 sont équivalentes
Je suppose que je dois calculer g(x) et trouver que cela est équivalent à x^3+x²+2x-1 ?
merci pour votre aide
f(x)-x*f(x)
= ( ((x²+x+1) * e^((-1)/x))) / x² ) - x ( ((1-x)*e^((-1)/x)) / x^4 )
= ( ((x²+x+1) * e^((-1)/x))) / x² ) - ((1-x)*e^((-1)/x)) / x^3 )
= = x( ((x²+x+1) * e^((-1)/x))) / x^3 ) - ((1-x)*e^((-1)/x)) / x^3 )
après je ne vois pas comment faire quelqu'un pourrait m'aiguiller svp, merci
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