Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Licence Maths 1e ann AlgèbreTopics traitant de algèbre [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Licence Maths 1e ann
Partager :

forme hermitienne

Posté par
scoatarin 13-06-17 à 15:29

Bonjour,

Lors d'un contrôle continu, je n'ai pas réussi à résoudre l'exercice suivant.

Merci de m'aider à le refaire pour  répondre correctement.

Soit E un -espace vectoriel, et f : E, : E x E deux applications.

(a) A quelles conditions f est-elle une forme semi-linéaire ?

(b) A quelles conditions est-elle une forme hermitienne ?


  

Posté par
ThierryPomare : forme hermitienne 13-06-17 à 17:21

Bonsoir,

Du boulot : f est une forme semi-linéaire si, pour tout (a,\,x,\,y)\in\C\times{E^2},

f(x+a\,y)=f(x)+\overline{a}\,f(y)

Selon ton cours, qu'est-ce qu'une forme sesquilinéaire, disons à gauche (mais l'on peut choisir à droite !) ? Tu pourras alors répondre au (b).

Posté par
scoatarinre : forme hermitienne 13-06-17 à 18:16

Selon mon cours, la terminologie " forme sesquilinéaire"  n'est pas utilisée.

On parle uniquement d'application   :  E x E , linéaire en la première variable et semi-linéaire en la deuxième variable, ce qui est déjà pas  simple à comprendre.    

Posté par
ThierryPomare : forme hermitienne 13-06-17 à 18:28

Les terminologies "sesquilinéaire" et "semi-linéaire" sont synonymes. Que ne comprends-tu pas ?

Posté par
scoatarinre : forme hermitienne 13-06-17 à 19:27

Ce que je ne comprends pas c'est:

1. Que signifie première variable ?
2. Que signifie deuxième variable ?

Posté par
ThierryPomare : forme hermitienne 13-06-17 à 21:30

Posons

\phi:\left\{\begin{array}{rcl}E\times{E}&\longrightarrow&\C\\\left(x,\,y\right)&\longmapsto&\phi(x,\,y)\\\end{array}\right.

\phi est linéaire en sa première variable : Pour tout (a,\,u,\,v,\,y)\in\C\times{E^3},

\phi(u+a\,v,\,y)=\phi(u,\,y)+a\,\phi(v,\,y)

\phi est semi-linéaire en sa seconde variable : Pour tout (a,\,u,\,v,\,x)\in\C\times{E^3},

\phi(x,\,u+a\,v)=\phi(x,\,u)+\overline{a}\,\phi(x,\,v)

L'on dit également que \phi est semi-linéaire à droite.

Posté par
scoatarinre : forme hermitienne 14-06-17 à 07:32

Bonjour ThierryPoma !

Merci bien pour ta réponse  qui me permet de bien assimiler cette nouvelle notion.

Du coup, je peux répondre à la question (b) :

Une forme hermitienne sur E est une application : E x E qui vérifie les deux conditions suivantes :

(a) est linéaire en la 1ère variable et semi-linéaire en la 2ème variable,

(b) a la propriété de "symétrie hermitienne"  ci-dessous :

       (x,y)   E, (x,y) = \overline \varphi (x,y).

Je ne sais pas comment mettre la barre sur "(x,y)" .

Posté par
ThierryPomare : forme hermitienne 14-06-17 à 08:27

Bonjour,

Du boulot :

Citation :
Je ne sais pas comment mettre la barre sur "(x,y)" .


En utilisant la commande \overline{\phi(y,\,x)}, ce qui donne

\forall\,(x,\,y)\in{E^2},\,\phi(x,\,y)=\overline{\phi(y,\,x)}\quad (\star)

Tu as donc fait une petite erreur...

Enfin, supposons que l'on ait (\star) et que \phi soit linéaire en sa première variable. Alors, clairement, pour tout (a,\,u,\,v,\,x)\in\C\times{E^3},

\phi(x,\,u+a\,v)=\overline{\phi(u+a\,v,\,x)}=\overline{\phi(u,\,x)+a\,\phi(v,\,x)}=\overline{\phi(u,\,x)}+\overline{a}\,\overline{\phi(v,\,x)}=\phi(x,\,u)+\overline{a}\,\phi(x,\,v)

Qu'en déduis-tu ?

Bonne journée !

Posté par
scoatarinre : forme hermitienne 14-06-17 à 09:41

J'en déduis que pour montrer qu'une applicationest hermitienne, il suffit de montrer qu'elle est symétrique, puis de montrer qu'elle est linéaire  en sa première variable.

Posté par
scoatarinre : forme hermitienne 15-04-18 à 13:10

Bonjour,

Merci, avec un peu de retard

Posté par
lafol Moderateurre : forme hermitienne 15-04-18 à 15:13

Bonjour
perso je n'aurais pas appelé ça "exercice", mais "questions de cours" ?
donc vraisemblablement les réponses sont dans ton cours

il est vrai qu'avec tous les blocages d'universités ces derniers temps il n'y a peut-être pas eu d'autre cours qu'un poly en ligne sur un ENT .... ce qui ne dispense pas de le lire attentivement....

sinon ça :

scoatarin @ 13-06-2017 à 19:27

Ce que je ne comprends pas c'est:

1. Que signifie première variable ?
2. Que signifie deuxième variable ?


les bras m'en tombent !
quand tu écris \varphi(x,y), tu ne vois pas que \varphi(x,y) dépend des deux variables x et y ? et tu n'as pas idée, alors qu'on écrit de gauche à droite, de baptiser "première variable" celle qui est le plus à gauche, et "deuxième variable" celle qui est le plus à droite ?

Posté par
lafol Moderateurre : forme hermitienne 15-04-18 à 15:15

scoatarin @ 14-06-2017 à 09:41

J'en déduis que pour montrer qu'une applicationest hermitienne, il suffit de montrer qu'elle est symétrique, puis de montrer qu'elle est linéaire en sa première variable.


pas vraiment, non : avec une symétrie ordinaire, ça ne va pas fonctionner

Posté par
scoatarinre : forme hermitienne 15-04-18 à 17:22

Mais si l'application vérifie la propriété de symétrie hermitienne, alors je crois que c'est exact, non ?

Posté par
lafol Moderateurre : forme hermitienne 15-04-18 à 17:29

là, oui

Posté par
scoatarinre : forme hermitienne 15-04-18 à 18:07

Merci bien pour ce détail fondamental


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !