Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths spé AlgèbreTopics traitant de algèbre [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau maths spé
Partager :

Forme lineaire

Posté par
marcelleK 23-10-20 à 18:33

Bonjour,

Je ne trouve pas la condition nécessaire et suffisante.

D'ailleurs, est ce qu'il y a comprendre davantage ce qu'est une forme bilinéaire que dire que c'est une application qui va d'un produit cartésien de E  dans un un corps  K  ?

E :   K-espace vectoriel  

En vous remerciant à tous

** image supprimée **

Posté par
carpediemre : Forme lineaire 23-10-20 à 18:39

salut

il faut recopier l'énoncé ....

Posté par
XZ19re : Forme lineaire 23-10-20 à 18:42

Bonjour

*pas d'énoncé pas de réponse*

Posté par
lafol Moderateurre : Forme lineaire 24-10-20 à 00:02

Bonjour
l'énoncé est à recopier
en plus il n'avait rien à voir avec la question posée ....
une forme bilinéaire est certes une application de ExE dans IK, mais quand tu as dit ça tu as juste explicité le mot "forme"... il ne faut pas perdre de vue qu'elle est linéaire par rapport à chacune de ses deux variables, comme son nom l'indique
mais encore une fois, rien à voir avec l'énoncé scanné qui portait sur des formes linéaires, et pas bilinéaires

Posté par
marcelleKre : Forme lineaire 24-10-20 à 20:33

Bonjour carpediemXZ19lafol  

On considère les formes linéaires \phi _{1},\phi _{2} : 3 suivantes:

\phi _{1}(x_{1},x_{2},x_{3}) =x_{1}-x_{3}                                          \phi _{2}(x_{1},x_{2},x_{3})=2x_{1}+x_{2}

Montrer que les formes linéaires \phi _{1},\phi _{2} sont linéairement indépendantes.
Soient a,b,c 3. Donner une condition nécessaire et suffisante sur a,b,c pour que la forme linéaire ax_{1}+bx_{2}+cx_{3} soit linéairement indépendante de  \phi _{1} \: et \: \phi _{2}.

En déduire que la forme linéaire  \phi _{3}(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}+x_{2}+2x_{3} est linéairement indépendante de \phi _{1} \: et \: \phi _{2}.

Trouver des vecteurs v_{1},v_{3},v_{3} 3 tels que, pour tout i,j = 1, 2, 3,


\phi _{i}(v_{j}) = \left\lbrace\begin{matrix} 1\; si\; i=j\\ 0\; si \; i\neq j \end{matrix}\right.



1. j'ai repondu  Il s'agit de deux formes linéaires non nulles et \phi _{1}(e_{2})=0 alors que \phi _{2}(e_{2})=1. Elles ne peuvent donc pas être linéairement dépendantes.

Posté par
marcelleKre : Forme lineaire 24-10-20 à 20:42

lafol peut on dire qu'une forme linéaire  est une application qui partant de vecteurs donne des scalaires dans le corps de l'espace vectoriel considéré. Ces scalaires étant construits comme étant des combinaisons linéaires des composantes des vecteurs de départ  ?

Posté par
carpediemre : Forme lineaire 24-10-20 à 20:42

salut

f(x, y, z) = x - z
g(x, y, z) = 2x + y
h(x, y, z) = ax + by + cz

dire que f, g et h sont indépendantes signifie que pour tout (x, y, z) : (pf + qg + rh) (x, y, z) = (0, 0, 0) => (p, q, r) = (0, 0, 0)

Posté par
marcelleKre : Forme lineaire 24-10-20 à 21:54

             (pf+qg+rh)(x,y,z)=(0,0,0)
  pf(x,y,z)+qg(x,y,z)+rh(x,y,z)=(0,0,0)
px-pz+2qx+qy+arx+brx+bry+crxz=(0,0,0)
x(p+2q+ar)+y(q+br)+z(-p+cr)=(0,0,0)
\begin{Bmatrix} x(p+2q+ar)=0\\ y(p+br)=0 \\ z(-p+cr)=0 \end{Bmatrix}

[smb]implique.gif" />\left\lbrace\begin{matrix} cp-2bp+ap=0\\ cq-2pq+aq=0 \\ -2br+ar+cr=0 \end{matrix}\right.

\left\lbrace\begin{matrix} p(a-2b+c)=0\\q(a-2b+c)=0 \\ r(a-2b+c)=0 \end{matrix}\right.
(p,q,r)=(0,0,0)

Posté par
marcelleKre : Forme lineaire 24-10-20 à 21:58

        (pf+qg+rh)(x,y,z)=(0,0,0)
  pf(x,y,z)+qg(x,y,z)+rh(x,y,z)=(0,0,0)
px-pz+2qx+qy+arx+brx+bry+crxz=(0,0,0)
x(p+2q+ar)+y(q+br)+z(-p+cr)=(0,0,0)
\begin{Bmatrix} x(p+2q+ar)=0\\ y(p+br)=0 \\ z(-p+cr)=0 \end{Bmatrix}

[smb]implique.gif" />\left\lbrace\begin{matrix} cp-2bp+ap=0\\ cq-2pq+aq=0 \\ -2br+ar+cr=0 \end{matrix}\right.

\left\lbrace\begin{matrix} p(a-2b+c)=0\\q(a-2b+c)=0 \\ r(a-2b+c)=0 \end{matrix}\right.
(p,q,r)=(0,0,0)

Posté par
marcelleKre : Forme lineaire 24-10-20 à 21:59

je vous prie de m'excuser

Posté par
marcelleKre : Forme lineaire 24-10-20 à 22:11

de deux choses l'une ,   d'une part je pensais qu'une forme linéaire donnait un scalaire et et non un vecteur comme résultat comme (0,0,0)    

et d'autre part,  arrivé au bout du calcul : on peut déduire soit que (p,q,r)=(0,0,0)  soit que a-2b+c=0   ou encore les que les deux soient nuls.  

autrement dit si :  
\left\lbrace\begin{matrix} Romeo\times Juliette = 0 \\ Romeo\times Rosaline = 0 \\ Roméo\times Tybalt = 0 \end{matrix}\right.

Alors \left\lbrace\begin{matrix} Romeo=0\\ et\; ou \\ Juliette=Rosaline=Tybalt=0 \end{matrix}\right.

Et dans ce cas ce qui nous intéresserait pour la question c'est peut que a-2b+c=0   et donc  

\left\lbrace\begin{matrix} a=2b-c\\ b=(a+c)/2 \\ c=2b-a \end{matrix}\right.  

ce qui ne marche pas avec la suite de la question..

Posté par
lafol Moderateurre : Forme lineaire 24-10-20 à 23:16

Bonsoir
Carpi a fourché, bien entendu l'image de (x,y,z) par la forme linéaire pf + qg + rh sera un nombre

tu cherches donc à quelle condition sur a,b,c on a : pf + qg + rh = 0 ==> p=q=r=0

pf+qg +rh = 0 <==> pour tout (x,y,z), (pf+qg+rh)(x,y,z) = 0
<==> pour tout (x,y,z), p(x - z)+q(2x + y)+r(ax + by + cz ) = 0

si c'est vrai pour tout (x,y,z), c'est en particulier vrai pour (1,0,0), pour (0,1,0) et pour (0,0,1) : on obtient p + 2q+ar = 0, q+br = 0, -p+cr=0
ce qui donne p =cr, q = -br, et en reportant dans la première : cr - 2br + ar = 0

donc soit c -2b + a = 0, et alors r peut être quelconque, donc f,g,h sont linéairement dépendantes
soit c - 2b + a non nul, et alors on a forcément r= 0, puis p = cr = 0 et q = -br = 0 : f,g,h linéairement indépendantes

dans la suite, on a a = b = 1 et c = 2 : c - 2b + a vaut alors 1, il est non nul et les formes sont indépendantes, où vois-tu un problème ?

Posté par
carpediemre : Forme lineaire 25-10-20 à 09:20

merci à lafol d'avoir corrigé le tir ...

bien sûr le résultat est un scalaire ...

et oui je voulais de même proposer d'évaluer sur la base "canonique" , ce qui suffit pour conclure ...

Posté par
marcelleKre : Forme lineaire 25-10-20 à 19:36

Du coup, dans cet exercice, quel est donc le secret explicite du tour de magie qui , lorsque nous formons une matrice avec les vecteurs colonnes de la base, puis nous inversons la matrice  et nous obtenons les formes linéaires correspondantes avec les lignes de la matrice inversée.
A l'inverse,   si  nous construisons une matrice ligne par ligne avec  les composantes des formes linéaires, puis que nous inversons la matrice, nous obtenons les vecteurs .  
(je veux dire ce que "cache" la dernière question pour laquelle  j'ai répondu :  v1=(2,-4,1), v2=(-1,3,-1), v3=(1,-2,1)  )  

je crois qu'il s'agit de base duale, mais je ne comprends pas.
(  (i,j)  ei*(ej) = ij  

peut être dois je poser la fin de la question sur un nouveau sujet ?


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !