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Forme linéaire
Bonjour,
Je voudrais être sure d'avoir compris ce que s'est une forme linéaire d'où ma question :
soit 
une forme linéaire . D'après la définition :
: E --> K
X=(x1,x2...xn) -----> 
aixi .
avec les ai des éléments de K.
On a bien aixi dans K.
Maintenant si on prend E=Mn(K) , j'aurais :
: Mn(K) --------K
X ----------> aixi
Mais X est une matrice de n ligne et n colonne alors qu'est ce qu'on est sensé obtenir comme (X), est qui appartient à K ?
Je sais que matriciellement = (a1a2,...........an)= L1
Si je pose X = (C1,C2........Cn)
(X) = L1C1+L1C2+.....L1Cn ?
Merci pour vos éclaircissements.
Bonjour,
Dans ton premier cas, tu as implicitement supposé que les xi étaient les coordonnées de X dans une base fixée (ce qui n'est pas écrit). Dans le deuxième cas avec les matrices tu peux faire de même et en fait les xi seraient plutôt (par exemple) des ai,j coefficients de ta matrice.
bonjour,
une forme linéaire sur un K espace vectoriel E est une application linéaire de E dans K
Ici ton E est l'espace vectoriel des matrices carrées nxn qui est de dimension n² on peut définir cette forme de multiples manières, mais je te fais remarquer que la manière dont tu la définis consiste à sommer les colonnes de ta matrice ce qui donne un vecteur de Kn et donc tu reviens à ton premier exemple où X =C1+C2+...Cn
Est-ce vraiment ce que tu voulais faire ?
Merci pour ta réponse.
Non, ce n'est pas ce que je voulais faire.
Je cherchais juste une façon de définir pour les matrices n x n en se basant sur la définition qui est :
(X) = (a1 a2 .........an) ( x1) = aixi
( x2 )
.
(xn)
par analogie à cette définition et en utilisant des matrice n x n :
(X) = (a1 a2 .........an) ( C1 C2 .........Cn)
avec les Ci des colonnes de n valeurs.
Je viens de trouver que pour Mn(K) , est définit par l'application trace : (X) = tr(AM).
C'est bien ça ?
On a essayé de t'expliquer que les coordonnées d'une matrice (dans la "base canonique" de
), ce sont ses
coefficients
. Mais visiblement, tu n'as pas capté.
Une forme linéaire sur est donc une application de la forme
Soit la matrice de
sont les coefficients
de la forme linéaire
. Tu peux vérifier que
.
Autrement dit, pour toute forme linéaire sur
, il existe une unique matrice
telle que, pour tout
,
.
Soit
Bonjour,
Après réflexion, je viens de comprendre . J'étais un peu perdue.
Je viens de démontrer également l'unicité de A , en montrant que est surjective (M = Eij) et en utilisant l'égalité des dimensions.
Merci pour vos réponses.
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