Bonjour,
si tu as une forme linéaire en dimension finie, il me semble qu'elle sera continue, non?

Si tu as une forme linéaire u, alors par définition, ker u est un hyperplan de E comme tu le remarques.

Si tu as un sous espace vectoriel F de E, que dire de son adhérence dans E? Notamment, est-ce un sous espace vectoriel?

la dimension n'est pas forcément fini dans ce cas.
ok on peut remarquer que l'adherence de ker u est un sous espace vectoriel de E
est ce que je peux dire que comme ker u n'est pas fermé
ker uadh(ker u)
=> codim(ker u) > codim( adh(ker u) )
or codim (ker u)=1 donc codim ( adh(ker u) )=0 ==> adh(ker u)=E

En fait la dimension NE PEUT PAS être finie, il me semble... (en dimension finie il me semble, toute fonction linéaire est continue, ça vient de la compactié de la boule unité et de l'équivalence "continue-lipschitzien")

Tu peux dire que ker u est dans son adhérence, c'est toujours vrai (au pire ils sont égaux). Mais comme ker u n'est pas fermé par hypothèse tu as nécessairement une inclusion stricte. De même, l'adhérence d'un sev de E est un sev de E. Oui tu as la bonne réponse.

Philosophiquement:

keru inclus dans adh(ker u) inclus dans E.

Comme ker u est de codimension 1, il n'y a pas assez de place pour avoir les 2 inclusions strictes, il faut choisir laquelle c'est...

Soit tu choisis la première, donc u n'est pas pas continue et son noyau pas fermé mais dense. Soit tu choisis la deuxième, dans ce cas là u est continue et ker E est fermé

ok merci