Bonjour,
Le mois dernier, je n'ai pas réussi à résoudre la question 6 de l'exercice suivant.
Comment faire ?
Exercice 1. (x,y,z,t) désigne le syst. de coord. relatif à la base canonique B de R4. On cosidère la fonction définie sur R4 par q
q(x,y,z,t]) = x2 + y2 + 2 z2 + 2 x y + 4 z t
1. Justifier rapidement pourquoi q est une forme quadratique.
2.Ecrire la matrice MatB(q) dans la base B .
3. Donner l'expression de la forme polaire (c-à-d la fbs) associée à q.
4. Décomposer q en somme de carrés de formes linéaires indépendantes
5. Quelle est la signature de q, son rang et son noyau.
6. Trouver une base B' = (e'1,..., e'4) (correspondant à un système de coord (x',y',z',t') dans laquelle MatB'(q) soit diagonale avec des termes diagonaux égaux à 1,-1,ou 0 .
A la question 4, sauf erreur, j'ai utilisé correctement la méthode de Gauss et obtenu:
q(x,y,z,t) = (x+y)2 + 1/4 (3z + 2t)2 - 1/4 (z-2t)2
Donc q a pour signature (2,1) et pour rang 3.
D'après le théorème du rang, le noyau est de dimension 4-3 = 1. on voit sur la matrice qu'il est engendré par (1,-1,0,0) .
A la question 6, j'ai écris:
Faisons le changement de variable
et là, je n'ai pas su comment continuer.
Merci de votre aide.
Bonjour
en tenant compte de la remarque de Camélia, pour avoir des 1 ou -1 ou 0 et pas d'autres nombres sur ta diagonale :
les vecteurs e' ont pour coordonnées dans la base des e' : (1,0,0,0), (0,1,0,0) etc
pour les exprimer dans la base B de départ, tu as juste à résoudre les systèmes x' = 1, y'=0, z' = 0 t' = 0 pour le premier, idem en mettant 0,1,0,0 comme second membre pour le deuxième et ainsi de suite
salut
Merci pour vos nombreuses indications, mais je n'arrive toujours pas à comprendre la méthode et par conséquent à répondre à cette question.
En utilisant le changement de variable préconisé par camélia (que j'ai compris), et en suivant les indications de lafol, voilà ce que je trouve pour les vecteurs e':
Pour le premier vecteur e' : t = 0, z = 0, x + y = 1
Pour le deuxième vecteur e': t =0, z = 0, x + y = 0
Pour le troisième vecteur e' : t =0, z = 1,
et je me suis arrêté là, car je ne comprends pas ce que je vais pouvoir en déduire.
A l'aide, s'il vous plaît
tu choisis des valeurs de x et y qui permettent de construire trois vecteurs linéairement indépendants qui satisfont à ces contraintes
reste à compléter avec avec un quatrième vecteur qui ne modifiera pas le calcul de q, donc qui vérifiera x'=y'=z'=0
Pour le premier vecteur e', on peut choisir x=1, y=0 ce qui donne v1= (1,0,0,0),
Pour le deuxième vecteur e', on peut choisir x=1, y=-1 ce qui donne v2= (1,-1,0,0),
Pour le troisième vecteur e', on peut choisir x=1, y=-1 et comme z=1, cela qui donne v1= (1,-1,1,0),
On remarque que ces trois vecteurs sont linéairement indépendants.
On peut compléter un quatrième vecteur v4=(0,0,0,1) qui vérifie x'=y'=z'=0.
On obtient une base de vecteurs B' = (e'1,..., e'4) (correspondant à un système de coord (x',y',z',t')) de la forme quadratique q.
Comment vérifier que cette base répond bien à la question 6 ?
Effectivement, je viens de voir ce qu'avait proposé Camélia. Peut-être que scoatarin n'avait pas saisi le sens de la remarque.
as-tu exprimé q(u) en fonction de x',y',z',t' ?
(avec u = (x,y,z,t), de coordonnées (x',y',z',t') dans la nouvelle base )
il y a une erreur de base dans ton système : tu as forcé t' = t
or ça rend impossible de trouver un vecteur non nul qui satisfasse x+y = 0, (3z+2t)/2 = 1,(z-2t)/2 = 0 et t =0...
les seules choses qu'on impose pour obtenir q(u) = x'² + y'² -z'², ce qui donnera bien une matrice diagonale avec des 1, -1 ou 0 sur la diagonale, c'est x + y = x', (3z+2t)/2 = y' et (z-2t)/2 = z'
on lui demandait uniquement des 1, -1 ou 0 sur la diagonale ....
pas la peine de venir répéter ce que Camélia avait dit deux jours plus tôt si c'est pour refaire l'erreur initiale ensuite ....
Merci beaucoup à tous pour votre aide intensive et le temps que vous avez consacré à me répondre.
Je pense avoir enfin compris et à titre de vérification, voilà ce que j'ai fait:
Cherchons un vecteur v2 tel que le système d'équations suivant soit vérifié :
pour x = 1 et y = -1, on a x+y = 0
et les deux autres égalités sont satisfaites si z = 1/2 et t = 1/4. d'où le vecteur v2 = (1,-1,1/2,1/4) .
On calcule q(v2) pour vérifier :
q(v2) = 1 {1,-1,0}, donc pour le vecteur v2, c'est bon !
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