Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Forme quadratique
Bonjour, ou plutôt, pour mon heure, bonsoir.
Je commence juste un chapitre sur les formes quadratiques.
Voici mon exercice :
je noterai fq et fb(s) repectivement forme quadratique et forme bilinéaire (symétrique)
Soit E = 
2
Soit X = (x1, x2, x3) 
E
On note q(X)= x1²+ 6x1x2 - 4x1x3+5x2²+x3²
1/ Mq q est une fq, donner la fb 
associée et sa matrice dans la base canonique
2/ Ecrire q comme somme de carrés de formes linéaires indépendantes et donner s(q) la signature de q
3/ Ker(q)=?
4/ Existe-t-il des vecteurs isotropes pour q ?
5/ Quelles sont les signatures des restrictions de q à x1 + 3x2 -2x3=0 et à x3=0
6/ Calculez l'orthogonal F pour de la droite D engendrée par (1 ; -1 ; 0), a-t-on 3= F
D ?
---------------------
1/ On peut directement dire que q est une fq car q est une combinaison linéaire de xixj, mais je pense que le professeur attend une démonstration plus rigoureuse pour un étudiant novice en la matière.
Je sais en tout cas que une fq sur E est une fonction E
de la forme x
(x,x) avec une fbs sur E. Mais je ne vois pas de methode....
2/ q(x1,x2,x3)= x1²+ 6x1x2 - 4x1x3+5x2²+x3²
donc en considérant les termes contenant x1, on écrit d'abord :
q(X)=(x1+3x2-3x3)²-4x2²-3x3²+6x2x3
en posant y1=x1+3x2-2x3 :
q(X)=y1 - 4x2²-3x3²+6x2x3
or 4x2²-3x3²+6x2x3 = (x2-3x3)²+3x2²-6x3²
en posant y2=x2-3x3 :
q(X)= y1-y2-3x2²+6x3²
en posant y3=(
3)x2 et y4=(6)x3,
on a q(X)= y1²-y2²-y3²+y4²
Juste ou faux (pitié !)
Pour la signature il me faut la q1....
pour la suite aussi...
Merci de votre aide je débute le chapitre
Bonjour
Reste à montrer que ceci définit une fbs, rien de violent jusque-là.
Qu'appelez-vous "q1" ? (Pour le reste j'ai un peu la flemme de vérifier les calculs désolé... mais la méthode a l'air d'être correcte.)
donc pour finir la 1, je vérifie que (X,Y)=(Y,X) et que (
X+X',Y)=(X,Y)+(X',Y) pour tout X,Y dans E et scalaire.
En utilisant votre définition de , j'obtiens :
matB[sub]C[/sub]() = qui n'est pas symétrique (comme vous le dites il me semble), du coup je ne vois pas où est l'erreur ?
Bonsoir,
Ce serait plus simple et plus lisible de noter X=(x,y,z) plutôt que (x1,x2,x3)
En adoptant cette notation, la forme bilinéaire symétrique associée, me semble être
(X,X')=xx'+3xy'+3x'y-2xz'-2x'z+5yy'+zz'
Enfin, pour la décomposition en carrés, en suivant votre méthode, je ne trouve pas du tout votre résultat.
Bonsoir,
Ce serait plus simple et plus lisible de noter X=(x,y,z) plutôt que (x1,x2,x3)
En adoptant cette notation, la forme bilinéaire symétrique associée, me semble être
(X,X')=xx'+3xy'+3x'y-2xz'-2x'z+5yy'+zz'
Enfin, pour la décomposition en carrés, en suivant votre méthode, je ne trouve pas du tout votre résultat.
Bonsoir,
Ce serait plus simple et plus lisible de noter X=(x,y,z) plutôt que (x1,x2,x3)
En adoptant cette notation, la forme bilinéaire symétrique associée, me semble être
(X,X')=xx'+3xy'+3x'y-2xz'-2x'z+5yy'+zz'
D'accord ici on a bien une matrice symétrique, vous avez "simplement" décomposé les termes de doubles produits en deux si je comprends bien.
Enfin, pour la décomposition en carrés, en suivant votre méthode, je ne trouve pas du tout votre résultat.
Comment avez vous procédé ?
merci
bonsoir
Soit E =
2
Soit X = (x1, x2, x3)
E
ça commence très très fort .... des triplets dans IR² ....
sinon, je n'aime guère la notation Ker pour le noyau d'une forme quadratique, ça n'a pas grand chose à voir avec celui d'une application linéaire, même si ça se calcule à partir de la matrice de la même manière
bonsoir
Soit E =
2
Soit X = (x1, x2, x3)
E
ça commence très très fort .... des triplets dans IR² ....
sinon, je n'aime guère la notation Ker pour le noyau d'une forme quadratique, ça n'a pas grand chose à voir avec celui d'une application linéaire, même si ça se calcule à partir de la matrice de la même manière
Bon ça va c'est une erreur de frappe c'est
3....
On a comme matrice de
dans la base canonique :
1 3 -2
3 5 0
-2 0 1
Qui est bien symétrique
2/ la signature de q est donc (2,1)
3/Le noyau de q est le vecteur nul uniquement (je n'ecris pas mes calculs mais si vous pouvez vérifier d'une part que mat(
) est juste et que son noyau l'est...)
On va donc noter N(
) le noyau de qui est donc le noyau de q ?
Merci
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac