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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Forme quadratique

Posté par
maxmaths65
11-02-19 à 20:56

Bonjour, ou plutôt, pour mon heure, bonsoir.
Je commence juste un chapitre sur les formes quadratiques.

Voici mon exercice :
je noterai fq et fb(s) repectivement forme quadratique et forme bilinéaire (symétrique)

Soit E = 2
Soit X = (x1, x2, x3) E

On note q(X)= x1²+ 6x1x2 - 4x1x3+5x2²+x3²

1/ Mq q est une fq, donner la fb associée et sa matrice dans la base canonique
2/ Ecrire q comme somme de carrés de formes linéaires indépendantes et donner s(q) la signature de q
3/ Ker(q)=?
4/ Existe-t-il des vecteurs isotropes pour q ?
5/ Quelles sont les signatures des restrictions de q à x1 + 3x2 -2x3=0 et à x3=0
6/ Calculez l'orthogonal F pour de la droite D engendrée par (1 ; -1 ; 0), a-t-on 3= FD ?

---------------------

1/ On peut directement dire que q est une fq car q est une combinaison linéaire de xixj, mais je pense que le professeur attend une démonstration plus rigoureuse pour un étudiant novice en la matière.
Je sais en tout cas que une fq sur E est une fonction E de la forme x(x,x) avec une fbs sur E. Mais je ne vois pas de methode....

2/ q(x1,x2,x3)= x1²+ 6x1x2 - 4x1x3+5x2²+x3²

donc en considérant les termes contenant x1, on écrit d'abord :

q(X)=(x1+3x2-3x3)²-4x2²-3x3²+6x2x3

en posant y1=x1+3x2-2x3 :

q(X)=y1 - 4x2²-3x3²+6x2x3

or 4x2²-3x3²+6x2x3 = (x2-3x3)²+3x2²-6x3²

en posant y2=x2-3x3 :

q(X)= y1-y2-3x2²+6x3²

en posant y3=(3)x2 et y4=(6)x3,

on a q(X)= y1²-y2²-y3²+y4²

Juste ou faux (pitié !)

Pour la signature il me faut la q1....

pour la suite aussi...

Merci de votre aide je débute le chapitre

Posté par
Jezebeth
re : Forme quadratique 11-02-19 à 21:11

Bonjour

\varphi (X,Y)=x_1y_1+6x_1y_2-4x_1y_3+5x_2y_2+x_3y_3

Reste à montrer que ceci définit une fbs, rien de violent jusque-là.

Qu'appelez-vous "q1" ? (Pour le reste j'ai un peu la flemme de vérifier les calculs désolé... mais la méthode a l'air d'être correcte.)

Posté par
Jezebeth
re : Forme quadratique 11-02-19 à 21:14

Bon ce que j'ai écrit n'est clairement pas symétrique...

Mais vous voyez l'idée ?

Posté par
maxmaths65
re : Forme quadratique 11-02-19 à 21:21

q1 est question 1,

d'accord je n'avais pas bien saisi mais merci je comprends !

Posté par
maxmaths65
re : Forme quadratique 11-02-19 à 21:24

donc pour finir la 1, je vérifie que (X,Y)=(Y,X) et que (X+X',Y)=(X,Y)+(X',Y) pour tout X,Y dans E et scalaire.

Posté par
maxmaths65
re : Forme quadratique 11-02-19 à 21:32

En utilisant votre définition de , j'obtiens :

matB[sub]C[/sub]() = \begin{pmatrix} 1 & 6 & -4\\ 0&5 &0 \\ 0& 0 & 1 \end{pmatrix} qui n'est pas symétrique (comme vous le dites il me semble), du coup je ne vois pas où est l'erreur ?

Posté par
larrech
re : Forme quadratique 11-02-19 à 21:51

Bonsoir,

Ce serait plus simple et plus lisible de noter X=(x,y,z) plutôt que (x1,x2,x3)

En adoptant cette notation, la forme bilinéaire symétrique associée, me semble être
(X,X')=xx'+3xy'+3x'y-2xz'-2x'z+5yy'+zz'

Enfin, pour la décomposition en carrés, en suivant votre méthode, je ne trouve pas du tout votre résultat.

Posté par
maxmaths65
re : Forme quadratique 11-02-19 à 22:01

larrech @ 11-02-2019 à 21:51

Bonsoir,

Ce serait plus simple et plus lisible de noter X=(x,y,z) plutôt que (x1,x2,x3)

En adoptant cette notation, la forme bilinéaire symétrique associée, me semble être
(X,X')=xx'+3xy'+3x'y-2xz'-2x'z+5yy'+zz'

Enfin, pour la décomposition en carrés, en suivant votre méthode, je ne trouve pas du tout votre résultat.
larrech @ 11-02-2019 à 21:51

Bonsoir,

Ce serait plus simple et plus lisible de noter X=(x,y,z) plutôt que (x1,x2,x3)

En adoptant cette notation, la forme bilinéaire symétrique associée, me semble être
(X,X')=xx'+3xy'+3x'y-2xz'-2x'z+5yy'+zz'


D'accord ici on a bien une matrice symétrique, vous avez "simplement" décomposé les termes de doubles produits en deux si je comprends bien.

larrech @ 11-02-2019 à 21:51

Enfin, pour la décomposition en carrés, en suivant votre méthode, je ne trouve pas du tout votre résultat.


Comment avez vous procédé ?

merci

Posté par
larrech
re : Forme quadratique 11-02-19 à 22:13

Pas à pas

q(X)=x^2+6xy-4xz+5y^2+z^2 =(x+3y-2z)^2-9y^2+12yz-4z^2+5y^2+z^2
 \\ 
 \\ q(X)= (x+3y-2z)^2-4y^2+12yz-3z^2= (x+3y-2z)^2-(2y-3z)^2+6z^2

Posté par
lafol Moderateur
re : Forme quadratique 11-02-19 à 22:45

bonsoir

maxmaths65 @ 11-02-2019 à 20:56



Soit E = 2
Soit X = (x1, x2, x3) E


ça commence très très fort .... des triplets dans IR² ....

sinon, je n'aime guère la notation Ker pour le noyau d'une forme quadratique, ça n'a pas grand chose à voir avec celui d'une application linéaire, même si ça se calcule à partir de la matrice de la même manière

Posté par
maxmaths65
re : Forme quadratique 11-02-19 à 23:28

lafol @ 11-02-2019 à 22:45

bonsoir
maxmaths65 @ 11-02-2019 à 20:56



Soit E = 2
Soit X = (x1, x2, x3) E
    


ça commence très très fort .... des triplets dans IR² ....

sinon, je n'aime guère la notation Ker pour le noyau d'une forme quadratique, ça n'a pas grand chose à voir avec celui d'une application linéaire, même si ça se calcule à partir de la matrice de la même manière


Bon ça va c'est une erreur de frappe c'est 3....

On a comme matrice de dans la base canonique :
1 3 -2
3 5 0
-2 0 1
Qui est bien symétrique

2/ la signature de q est donc (2,1)
3/Le noyau de q est le vecteur nul uniquement (je n'ecris pas mes calculs mais si vous pouvez vérifier d'une part que mat() est juste et que son noyau l'est...)
On va donc noter N() le noyau de qui est donc le noyau de q ?

Merci

Posté par
larrech
re : Forme quadratique 11-02-19 à 23:44

OK pour la matrice. Son déterminant est différent de 0, la forme n'est pas dégénérée et  le noyau est réduit au vecteur nul.

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