Bonsoir,

La forme n'est pas définie positive,  donc elle peut s'annuler sans que pour autant chacune des formes de la décomposition en carrés le soit.

Par contre, comme elle est non dégénérée, son noyau doit être réduit au vecteur nul.

Mais ma décomposition est-elle juste ? Si oui j'ai dû me tromper dans le cône isotrope mais je vois pas mon erreur.

Bonsoir,

la décomposition est juste. Ce que larrech dit c'est que ton système d'équations n'est pas juste. Ce n'est pas parce que ta forme quadratique s'annule que tous les carrés sont nuls, c'est le cas lorsque que l'on a une somme de termes positifs (ici tu as un -z²)

Merci Kernelpanic,

C'est tout à fait ça. Je reconnais que ma phrase était quelque peu bancale, donc pas très claire.

Bonsoir,
en supposant que ta décomposition est juste, il est clair que l'on peut avoir q=0 et z=1.
Par exemple avec y=-1 et x=-2.

Bon j'ai cherché un peu (parce que j'ai un partiel sur ça demain, donc c'est un bon entraînement) et j'ai un peu repompé la solution donnée ici : [bilinéaire] déterminer le cône isotrope.

Je préviens : c'est long, je ne suis pas sûr de résultat, c'est juste pour donner une piste.

Bon on cherche les triplets (x,y,z) tels que (x-2y+z)² + (y+z)² - z² = 0
(x-2y+z)² = -y(y+2z)
Si y(y+2z) > 0, on a pas de solutions
si y(y+2z) = 0, on trouve la solution en posant x-2y+z = 0
si y(y+2z) < 0, là ça commence à devenir amusant...

on peut penser à transformer notre expression en équation du second degré en x.
On a alors :

(x-2y+z)² + (y²+2yz) = 0
x² + 2x(z-2y) + (z-2y)² + y² + 2yz = 0
x² + 2x(z-2y) + z² + 5y² -2yz = 0

On calcule le discriminant de cette expression.




donc

On peut faire une étude de fonction en y. On calcule de nouveau le discriminant, on trouve . Les solutions sont donc (là il faut ordonner selon le cas z positif ou z négatif). On prend donc y dans le segment formé par les deux solutions pour que le premier discriminant soit positif.
On calcule alors de même les solutions du premier discriminant et on devrait trouver quelque chose.

Il est tard, je n'ai pas tout relu, ceci est juste une piste, cela ne m'étonnerait pas qu'elle soit fausse (j'ai dû faire des fautes quelque part ou j'ai dû oublier des cas évidents). A tous les lecteurs, n'hésitez pas à proposer des solutions, je suis curieux de voir une réponse...

Bonne soirée.

Merci beaucoup Kernelpanic, je vais essayer de reprendre ça demain à tête reposé.

La forme en question n'est pas définie. Le cône isotrope est  l'ensemble des points (x,y,z), tels que (x-2y+z)² + (y+z)² - z² = 0 .

Pour le qualifier aisément une méthode consiste à  diagonaliser la matrice . Cela conduit à exprimer la forme dans une base orthogonale, et permet de reconnaître la nature du cône (ici, un cône elliptique).

La méthode que vous m'avez cité KernelPanic m'a l'air compréhensible mais assez longue et je ne l'ai pas vu en cours (la méthode vu en cours était de résoudre le système que j'avais posé mais ne marche pas dans ce cas).

Même sur internet je n'arrive pas à trouver d'exemple concret sans que la forme ne soit pas définie positive.

Elle n'est pas non plus définie négative. Une forme quadratique est dite  définie si q(x)=0 x=0, ce qui n'est pas le cas ici.

Ensuite ,sauf erreur de saisie (je n'ai pas fait les calculs à la main), les valeurs propres sont 1, 3-10 et 3+10.

Il en résulte qu'il existe une base orthogonale dans laquelle la forme s'écrit

Q=X²+(3-10)Y²+(3+10)Z² et , dans cette base, l'équation du cône isotrope devient

X²+(3-10)Y²+(3+10)Z²=0, cône de sommet le point (0,0,0) , dont les sections par les plans Y=Cste sont manifestement des ellipses

Merci. Mais dans la question on me demande de donner un vecteur non-nul dans C(q), comment dois-je le déduire ?

Demain j'ai une petite interro de 30mn sur les formes quadratique et cette méthode me paraît très longue en plus du fait que l'on ne l'a pas abordé en TD (ni la méthode de KernelPanic).

En posant le système :
x-2y+z =0
y+z = 0
z = 0

Je fait L1-L3 :
x-2y =0
y+z = 0
z = 0

Et en "ignorant" la dernière ligne je trouve (-2,-1,1) comme vecteur isotrope (comme l'avais trouvé verdurin sans me donner d'explication)

Si on ne demande que de donner un vecteur non nul de C_q, inutile en effet de sortir l'artillerie lourde.

Mais votre façon de procéder  est surprenante et...incorrecte.

(x-2y+z)²+(y+z)²-z²=0

Cherchons un tel vecteur par exemple dans le plan vectoriel d'équation y+z=0. On devra avoir alors

(x-2y+z)²-z²=(x-2y)(x-2y+2z)=0

Le système y+z=0, x-2y=0  donne les vecteurs (2z, -z, z), z non nul, d'où pour z=1, (2,-1,1)

L'autre système y+z=0,  x-2y+2z=0 donnera une autre famille de vecteurs colinéaires représentant une autre génératrice du cône

Bonjour
s'il suffit d'en trouver un, on peut "jouer" avec les triplets pythagoriciens :
(x-2y+z)²+(y+z)²-z²=0 s'écrit aussi (x-2y+z)²+(y+z)²=z²

on sait par exemple que 3²+4²=5² (le fameux triangle rectangle "3-4-5"), on peut chercher à déterminer x, y z vérifiant z = 5, y+z = 3 (ou 4) et x-2y+z = 4 (ou 3) ...

S'il s'agit de les trouver tous, en écrivant (x-2y+z)²=z²-(y+z)² = -y(y+2z), on se rend compte qu'on peut choisir y comme on veut, puis z comme on veut pourvu que -y(y+2z) soit positif, autrement dit, si y est positif, z < -y/2, et si y est négatif, z > -y/2, et ensuite on aura x = 2y-z (-y(y+2z))