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forme quadratique : vecteur isotrope.
Bonsoir à tous !
Soit q une forme quadratique non nulle sur l'espace M2(
) tel que 
A
M2(), BM2(), q(AB)=q(A)q(B).
1° I étant la matrice identité démontrer l'égalité q(I)=1.
En déduire que toute matrice inversible n'est pas isotrope .
2° démontrer que la matrice est isotrope. En déduire que toute matrice non inversible est isotrope.
3° déterminer la matrice de la forme polaire 
dans la base canonique de M2().
4° En déduire que q est définie par AM2() , q(A)=detA.
Veuillez me donner des indications pour que je puisse aborder .
Merci d'avance 🙏.
Bonsoir,
comme q est non nulle il existe une matrice A telle que q(A)
0. Et q(A)=q(I)q(A) . . .
Ensuite si A est inversible q(A)q(A-1)=1.
Etc.
Bonsoir,
1° Prenons A=B=I
On a alors :q(I.I)=q(I)=q(I).q(I)
Donc q(I)=q(I)2
q(I)2-q(I)=0q(I)=0 ou q(I)=1 et comme q est non nulle, d'où q(I)=1
Soit A une matrice inversible, donc il existe A-1 tel que A.A-1=I
Donc q(AA-1)=q(I)q(A)q(A+1)=1
q(A)0
D'où toute matrice inversible est non isotrope
C'est bon ?
Bonjour,
Ta réponse à la question 1°) a un trou : pourquoi a-t-on ? L'hypothèse est que
est non nulle , c.-à-d. qu'il existe une matrice
telle que
; mais tu ne peux pas affirmer sans démonstration que
. Ton raisonnement se mord la queue.
Verdurin t'a indiqué comment procéder.
Bonsoir à tous.
comme q est non nulle il existe une matrice A telle que q(A)
0. Et q(A)=q(I)q(A) . . .q(A)=q(I)q(A)
q(I)=q(A)/q(A); q(A)0q(A)=1.
Si A est inversible alors il existe A-1 tel que q(AA-1)=q(A)q(A-1)=1
q(A)=1/q(A-1); q(A-1)0
donc q(A)
0 pour tout A inversible.
Est-ce logique cette fois ?
Encore un usage à tort et à travers du symbole .
Tu devrais faire un effort pour écrire proprement.
Exemple :
Puisque , on a
, donc
et
est isotrope.
Il te reste à montrer que toute matrice non inversible est isotrope.
Bonjour,
D'accord...
Soit A une matrice non inversible donc detA=0
q(A)=0 pour tout A non inversible ?
Comment je peux en déduire ça
Tu peux commencer par vérifier que si
et
sont semblables.
Ensuite, penser à la diagonalisation ou trigonalisation.
Je ne vois pas trop...
Soit A et B deux matrices semblable donc 
P une matrice inversible tel que :
A=P-1BP ; q(A)=q(P-1BP)
Je vois pas...
Bonjour.
Tu oublies l'hypothèse faite sur q ?
Non !
q(A)=q(P-1)q(B)q(P)
q(A)=q(B)q(P)q(P-1)
A-t-on q(P-1)=(q(P))-1 ?
Non
1) On a montré que q(I)=1 et q(A)0 pour tout A inversible.
Un peu de détails sinon je ne vois pas comment il faut en déduire que toute matrice inversible n'est pas isotrope .
"comment il faut en déduire que toute matrice inversible n'est pas isotrope"
Tu as oublié ce que veut dire "isotrope" ?
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