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formes quadratique et matrices

Posté par
Krik 20-11-17 à 04:15

salut a tous .
j'ai un probleme sur la matrice d'une forme quadratique . en effet elle est special cette forme quadratique .  

en effet  voici l'exercice

montrer que q1 : Atr(A2) est une forme quadratique sur E = n*n(espace des matrices d'ordre n a coefficient reels)  et prouver qu'il existe une base de E telle que

Mat(q1, ) =  \begin{pmatrix} \frac{1}{2}D &0 \\ 0&\frac{-1}{2}E \end{pmatrix}
où D = In(n+1)/2 et E = In(n-1)/2

on pouras considerer les restrictions de q1 a l'espace  n*ns des matrices symetriques et n*na des matrices antisymetriques ; puis utiliser le fait que ces 2 espaces sont en somme directe .

la je peux vous avouer que je ne comprend meme pas qui sont E et D  ; des matrice ?? des reels ?? aucune idee . et donc je n'arrive pas demarer sur l'exercice .

merci de m'aider

Posté par
etniopalre : formes quadratique et matrices 20-11-17 à 09:01

Pour tout entier p > 0 , Ip est l'élément de Mp/sub]() dont tous les éléments sont nuls sauf ceux de la diagonale qui valent tous 1 .
I[sub]p = Diag(1,1,1,....,1) est la  matrice (dans la base canonique ) de l'application identique  de p

Posté par
luzakre : formes quadratique et matrices 20-11-17 à 10:23

Bonjour !
Je te conseille de calculer q(A) à l'aide des coefficients de A lorsque A est symétrique.
Puis de calculer q(X) quand X est une matrice de la base canonique des matrices symétriques.

Posté par
luzakre : formes quadratique et matrices 20-11-17 à 18:58

Bonsoir !
Curieux cet énoncé.
q(M)=\mathrm{tr}(M^2) définit bien une forme quadratique, de forme bilinéaire associée : (X,Y)\mapsto\mathrm{tr}(XY).

Je prends n=2,\;A=\begin{pmatrix} x &y \\ z &t \end{pmatrix}
Alors A^2=\begin{pmatrix} x^2+yz &y(x+t) \\ z(x+t) &t^2+yz \end{pmatrix}
Donc q(A)=\mathrm{tr}(A^2)=x^2+t^2+2yz : q est une forme de signature (3,1) et non pas (2,2) comme le voudrait l'énoncé ?

Voyez-vous une erreur dans ce que j'ai mis ?

Posté par
luzakre : formes quadratique et matrices 20-11-17 à 19:01

Ne pas vous déranger, je vois mon erreur : l'énoncé veut faire démontrer que la signature est \Bigl(\dfrac{n(n+1)}2,\dfrac{n(n-1)}2\Bigr) soit (3,1) pour n=2.

Posté par
Krikre : formes quadratique et matrices 20-11-17 à 21:13

salut a tous et merci pour vos idees . j'ai trouve la matrice de q dans l'espace des matrices symetrique et dans celui des matrices antisymetriques . je fait donc comment pour obtenir la matrice finale de q dans l'espace des matrices ??

Posté par
luzakre : formes quadratique et matrices 20-11-17 à 23:13

Non tu ne cherches pas les matrices des restrictions de q à des sous-espaces mais la matrice de q. Ce n'est pas la même chose !

Tu dis "t'ai trouve(sic)" mais on ne peut pas savoir si ton résultat est valable ou pas !
Ce serait important pour pouvoir t'aider le cas échéant !

Remarque : la matrice d'une forme quadratique ne peut s'obtenir que si on explicite la forme bilinéaire associée. L'as-tu fait ?


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