Bonjour,

Le texte du lien indiqué sur la formule de Burnside est clair:    etc... sont des nombres naturels (cardinaux des ensembles finis en question).  Je ne vois vraiment quoi il peut y avoir sous la formule " " (qui ne figure nulle part dans ce texte, il me semble)...

Tu as raison de chercher un cas plus simple, mais j'en propose d'abord un encore plus simple;.   ll s'agit  de calculer le nombre de manières de colorier les sommets d'un carré dessiné sur une feuille de papier avec 3 couleurs.  Deux coloriages seront considérés comme le même si on obtient l'un à partir de l'autre en faisant simplement tourner la feuille autour du centre du carré de manière à ce que les sommets du carré soient transformés en sommets du carré.

Le groupe à utiliser n'est pas ici le groupe diédral mais le sous-groupe à éléments des rotations   d'angle .    Ainsi .

Par l'identité  ,  tous les coloriages sont fixés:  .

Les coloriages fixés par   et   sont les coloriages monocolores, donc .
Chaque coloriage fixé par est déterminé par le coloriage de sommets adjacents (les couleurs de chaque sommet opposé sont alors déterminées). Donc .

On a donc   et  .


Bien sûr, tu peux maintenant traiter le cas de tes perles. Pour les rotations du groupe diédral, il n'y a rien à changer, mais il faut examiner les réflexions. Bon courage

Au sein de mes études on utilise une autre notation que Orb_X(G) ; on utilise la notation quotienté, et donc cela correspond à X/G i.e. avec le carré : C/ D_8.

Merci pour l'exemple, je n'y avais pas pensé et c'est un bon exemple.

Néanmoins mon problème n'est pas de comprendre le cas où on étudie les sommets (cas que j'ai compris) mais bien le cas où on étudie plus les sommets mais le carré entier....  Je ne comprends pas ce qu'on fait.  


Si je ne suis pas clair, je peux répéter, mais vraiment je ne sais pas quoi dire de plus qu'à la place d'avoir X = quatre sommet, X ici vaut C...

je vous remercie

Bon, essayons (si possible) d'être plus clair:

Je vais reprendre ta définition avec les perles assemblées en formant un carré. L'ensemble sur lequel notre groupe va opérer est l'ensemble de ces assemblages coloriés, chaque perle ayant reçu une des couleurs.   a donc éléments.

Dans mon message précédent, l'exemple étudié se modélise en géométrie plane puisque 2 coloriages sur la feuille de papier (qu'il n'est pas question de retourner !) ne seront les mêmes que si l'un s'obtient à partir de l'autre par une rotation dans ce plan. Le groupe qui nous concerne a 4 éléments.

Mais pour les perles, on conserve encore le même coloriage avec un demi-tour (dans l'espace de dimension 3) autour d'une diagonale ou de la droite joignant les milieux de 2 côtés opposés du carré. Les applications induites par ces demi-tours sur le plan de sont des réflexions planes autour de ces droites. Finalement, ici, on travaille bien avec  .

Bon courage pour terminer.