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Formule de la variance

Posté par
alexhdmt 10-07-23 à 15:51

Bonjour,
pour calculer la variance, j'ai deux formules:
(1) V(x)= p1(x1-E(x))²+p2(x2-E(x))²
et
(2) V(x)= (x1)²*p1+(x2)²*p2-(E(x))²

Je tente de développer la 1ere formule pour arriver à la 2 ème mais après avoir développer les identités remarquables je ne comprends pas la factorisation qu'il faut réaliser pour seulement obtenir -(E(x)²) dans la 2eme. Est-ce que quelqu'un pourrait m'expliquer?
Merci beaucoup!

Posté par
carpediemre : Formule de la variance 10-07-23 à 15:59

salut

généralisons à n :

V(x) = \sum_1^n p_k(x_k - m)^2 = \sum_1^n p_k x_k^2 - \sum_1^n 2mp_k x_k + \sum_1^n p_km^2 = ...

factorise convenablement les deuxième et troisième somme

Posté par
heklare : Formule de la variance 10-07-23 à 16:16

Bonjour

On se contente de deux valeurs

V(x)=p_1(x-E(x))^2+p_2(x_2-E(x))^2

on développe p_1(x_1^2-2x_1E(x)+E(x)^2)+p_2(x_2^2-2x_2E(x)+E(x)^2)

On termine le développement

p_1x_1^2-2p_1x_1E(x)+p_1E(x)^2+p_2x_2^2-2p_2x_2E(x)+p_2E(x)^2

p_1x_1^2+p_2x_2^2-\left(2p_1x_1+2p_2x_2\right) E(x)+(p_1+p_2)E(x)^2

or p_1+p_2=1 somme des probabilités  et p_1x_1+p_2x_2=E(x)

À la fin, on a donc p_1x^2_1+p_2x_2^2-2E(x)^2+E(x)^2 Q.E.D.

Posté par
carpediemre : Formule de la variance 10-07-23 à 16:47

dommage de faire le travail à la place de alexhdmt

Posté par
heklare : Formule de la variance 10-07-23 à 16:52

S'il n'a pas vu la transformation, ce n'est pas après avoir séché pendant trois heures que la substitution viendra.

  


Posté par
carpediemre : Formule de la variance 10-07-23 à 17:39

certes mais l'amener par les bonnes questions à trouver par lui-même lui sera toujours plus riche et plus profitable !!


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