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Niveau école ingénieur
formule de Legendre
Posté par Maesan
Bonjour à tous et merci de me lire.
En fait j'ai un soucis en arithmétique. C'est le suivant:
Montrer que [(2m)!(2n)!]/[m!n!(m+n)!] est un entier.
L'indication demande d'utiliser la formule de Legendre et le fait que E(2x)+E(2y)
E(x)+E(y)+E(x+y)
Avec E la fonction partie entière.
Je ne vois vraiment pas comment exploiter la formule de Legendre et ce fait pour prouver cela.
Merci beaucoup.
Bonjour,
Vrai, tu ne vois pas ? La formule de Legendre ne fait-elle pas intervenir la fonction partie entière ? Peux-tu la rappeler ?
Elle dit que la valuation p adique d'un facteur premier p dans n est E(n/p)+E(n/p^2)+… mais mon problème je ne sais comment je pourrais l'exploiter
M'enfin ?
Qu'est-ce que te dit la formule de Legendre pour la valuation -adique de
? pour celle de
?
Ça ne fait pas tilt avec ?
C'est supérieur je pense bien?Pour la relation avec les parties entières.
Pour chaque produit ça sera la somme des valuation p-adiques. Pour le rapport ça sera la soustraction de la valuation du haut par celle du bas. Pour un p choisi, on trouvera que la valuation p adique est positive.
Et donc que le rapport c'est un entier
Bon mon soucis c'est le p qu'on choisi. il apparaît dans quelle factorielle svp?
Comment est-il défini?
Oui, c'est supérieur ou égal.
Rappel : un entier divise un entier
(autrement dit
est entier) si et seulement si pour tout nombre premier
, la valuation
-adique de
est inférieure ou égal à la valutation
-adique de
.
Il convient donc ici de vérifier l'inégalité sur les valuations -adiques pour TOUS le premiers
.
Àtoi de jouer.