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Formule de Parseval (Application)

Posté par
jawad 07-04-13 à 14:43

Je dois demontrer que 1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+...=\frac{\pi^2}{8}
en determinant \|Sq\|^2$ tel que $Sq(t)=\frac{4}{\pi} \sum \limits_{n \mbox{ }impaire \geq 1} \frac{\sin nt}{n}

On sait que \|Sq\|^2=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}Sq(t)^2dt\\=\frac{16}{\pi^3}(\int_{-\pi}^{\pi} \sin^2t+\int_{-\pi}^{\pi} \frac{(\sin 3t)^2}{3^2}+\int_{-\pi}^{\pi} \frac{(\sin 5t)^2}{5^2}+...)\\=\frac{16}{\pi^2}(1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+...)


Maintenant, je voudrais determiner le cote droit de la formule de Parseval ie \frac{{a_0}^2}{2}+\sum_{1}^{\infty}{a_n}^2+\sum_{1}^{\infty}{b_n}^2

Je voulais determiner les coefficients a_0,a_n et b_n en utilisant la serie de Fourier
On a a_0=0, a_n=0, b_n=\frac{4}{n\pi}

Mais comment on obtient la premiere egalite ?

Merci d'avance

Posté par
jawadre : Formule de Parseval (Application) 07-04-13 à 14:58

Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider svp ?

Posté par
jawadre : Formule de Parseval (Application) 07-04-13 à 15:33

Svp ?

Posté par
alainpaulre : Formule de Parseval (Application) 07-04-13 à 15:48

Bonjour,


Il existe un lien direct entre la suite proposée
et 1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+...
il suffit de diviser cette dernière par 1+1/22,



Alain

Posté par
lafol Moderateurre : Formule de Parseval (Application) 07-04-13 à 17:28

Bonjour

les coeffs a_n et b_n sont les coeffs de cos(nt) et sin(nt) dans le développement en série de Fourier de S_q(t)=\frac{4}{\pi} \sum \limits_{n \mbox{ }impaire \geq 1} \frac{\sin nt}{n}...
autrement dit a_n = 0, b_{pair} =0 et si n impair, b_{n} = \frac{4}{n\pi}

ce qui te manque, c'est la somme de cette série (la valeur de S_q(t), quoi) pour calculer l'autre côté de l'identité de Parseval....

y'aurait pas eu une question où on te demandait les coeffs de Fourier de la fonction 2pi périodique qui à x associe -1 si x entre - pi et 0, et à x associe 1 si x entre 0 et pi, par hasard ?


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