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Formule de Viète

Posté par
Xavier13100
13-09-18 à 19:27

Bonjour, je souhaite démontrer une formule de Viète, mais après plusieurs heures de recherches, je ne pense pas avoir réussi une démonstration rigoureuse.

L?énoncé : pour n dans N, soit Un = Racine de (2 + racine de ( 2 + racine de (2 + ... + racine de (2)))).  

Montrer que pour tout n dans N*, Un= 2(cos(PI/2^n+1))

Je pense à une démonstration par récurrence, mais j?ai vraiment du mal à démontrer l?hérédité, auriez-vous une piste pour m?aider?

***forum modifié***

Posté par
luzak
re : Formule de Viète 13-09-18 à 23:58

Bonsoir !
Le problème c'est que ta suite n'est pas définie : on ne sait pas combien il y a de radicaux. n?,n+1?,n-1?
De plus le 2^n+1 est -probablement - un 2^{n+1} ???

Je te propose de prendre u_{n+1}=\sqrt{2+u_n} mais il faut choisir une valeur pour u_0 (peut-être la valeur demandée : u_0=0 ?)

Posté par
Xavier13100
re : Formule de Viète 14-09-18 à 12:29

La suite possède n radicaux et oui c'est bien 2^(n+1) j'ai oublié une parenthèse

Posté par
mathafou
re : Formule de Viète 14-09-18 à 14:00

Bonjour,

connais tu la formule de duplication de l'angle pour les cosinus  ?

cos(2a) = ???
inversement cette formule permet de calculer l'angle moitié cos(b/2) =...  ??

c'est ça qui va être utilisé ici dans une démonstration par récurrence.

Posté par
luzak
re : Formule de Viète 14-09-18 à 14:55

Citation :
La suite possède n radicaux et oui c'est bien 2^(n+1) j'ai oublié une parenthèse

Je ne sais toujours pas comment commencer la suite.
Tu as écrit "pour tout n dans N" : une formule avec 0 radical, je ne vois pas bien !

Bon disons qu'on commence avec 1 et u_1=\sqrt2.
Tu as bien u_1=2\cos\dfrac{\pi}{2^{1+1}} et tu continues avec u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}.

Posté par
Xavier13100
re : Formule de Viète 14-09-18 à 18:57

mathafou @ 14-09-2018 à 14:00

Bonjour,

connais tu la formule de duplication de l'angle pour les cosinus  ?

cos(2a) = ???
inversement cette formule permet de calculer l'angle moitié cos(b/2) =...  ??

c'est ça qui va être utilisé ici dans une démonstration par récurrence.


Bonjour, il me semble que oui : cos(2a)= 2cos^2(a) -1

Donc cos(a/2)= 2cos^2(a/4)-1 ... mais je ne vois pas plus loin que ça

Posté par
Xavier13100
re : Formule de Viète 14-09-18 à 18:58

luzak @ 14-09-2018 à 14:55

Citation :
La suite possède n radicaux et oui c'est bien 2^(n+1) j'ai oublié une parenthèse

Je ne sais toujours pas comment commencer la suite.
Tu as écrit "pour tout n dans N" : une formule avec 0 radical, je ne vois pas bien !

Bon disons qu'on commence avec 1 et u_1=\sqrt2.
Tu as bien u_1=2\cos\dfrac{\pi}{2^{1+1}} et tu continues avec u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}.


Pardon pour mon manque de rigueur, c'est bien n>=1

Posté par
mathafou
re : Formule de Viète 14-09-18 à 19:07

Citation :
Bonjour, il me semble que oui : cos(2a)= 2cos^2(a) -1

donc
cos(a) = en fonction de cos(2a) ??
alias cos (b/2) en fonction de cos(b)

Posté par
luzak
re : Formule de Viète 14-09-18 à 23:18

@Xavier13100 :
Si u_n=2\cos a tu as 2+u_n=2(1+\cos a)=4\cos^2\dfrac a2 ce qui donne bien u_{n+1}=2\cos\dfrac a2 en précisant bien le bon intervalle pour a.

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