Bonjour je suis en terminale et j'ai un peu de peine avec cet exercice.



Sujet

Soit f la fonction définie sur IR par f(x)= cos(x)*sin(x)

Conjecturer puis démontrer une formule générale pour les dérivées successives de f.

Conseil : commencer par calculer f', f'', f'''.

Voici les dérivées successives :

f'(x) = -sin(x)*sin(x) + cos(x)*cos(x) = -sin²(x) + cos²(x) = cos(2x)
f''(x) = -2sin(2x)
f'''(x) = -4cos(2x)
f''''(x)=8sin(2x)


(sin(x))' = cos(x)
(cos(x))' = -sin(x)

On remarque une puissance de 2 s'appliquant aux coefficients à chaque dérivation. Ainsi qu'une alternance de cos et de -sin. On voit que l'on change de signe toutes les 2 dérivées (- - + + - - + + ...)

Il est donc possible de créer une suite de fonction qui nous permettrait d'obtenir directement la dérivée n^ième

On sait que :

sin x = cos(pi/2 -x)               sin 2x = cos(pi/2 -2x)

cos x = sin(pi/2 -x)               cos 2x = sin(pi/2 -2x)


On a quelque chose du genre (mauvaise rédaction) :

f_n(x) = 2ⁿ*cos(2x)

ou

f_n(x) = 2ⁿ*cos(pi/2 -2x)



Merci de bien vouloir m'éclairer