Niveau LicenceMaths 2e/3e a

Formule sommatoire de Poisson

Posté par
Ennydra 25-04-18 à 16:38

Bonjour,

J'ai un autre exercice sur lequel je bloque.

Posons $g(x) = (1-|x|)1_{[-1,1]}$ .
a) Appliquer la formule sommatoire de Poisson à la fonction g, montrer que pour tout $x \in \R / \Z$ , on a $\sum_{k \in \Z} \dfrac{1}{(x+k)^2} =(\dfrac{\pi}{\sin(\pi x)})^2$ .

b) En déduire que pour tout $x \in \R / \frac{1}{2} \Z$ on a $\lim_{n \rightarrow + \infty} \sum_{m=-n}^{n} \dfrac{1}{x+m} = \dfrac{\pi}{\tan(\pi x)}$ .

Je précise que la formule sommatoire de Poisson est $\sum_{n \in \Z} f(2\pi n) = \dfrac{1}{2 \pi} \sum_{n \in \Z} \widehat{f}(n)$ .

a) Appliquée à la fonction g, cela donnerait :
$\sum_{n \in \Z} (1-2\pi |n|) 1_{[-1,1]} = \dfrac{1}{2\pi} \sum_{n \in \Z} \dfrac{2-2\cos(n)}{n^2}$ , donc :

$3-4\pi = \sum_{n =-1}^1 (1-2 \pi |n|) = \dfrac{1}{2\pi} \sum_{n \in \Z} \dfrac{2-2\cos(n)}{n^2}$ .

Est-ce juste pour l'instant ?
Et si oui, avez-vous une idée pour poursuivre l'exercice ?
Merci d'avance

Posté par re : Formule sommatoire de Poisson 25-04-18 à 23:36

Ah oui, c'est bête de ne pas l'avoir précisé mais encore une fois, j'utilise la définition donnée par mon cours de la transformée de Fourier :

$\widehat{f(t)} = \int_{\R} f(x) e^{-itx} dx$

Posté par re : Formule sommatoire de Poisson 25-04-18 à 23:48

Ce n'est pas $\widehat{f(t)}$ mais $\widehat{f} (t)$

Posté par re : Formule sommatoire de Poisson 26-04-18 à 00:24

Merci, je note !

Je remarque qu'avec la définition $\widehat{f}(t) = \int_{\R} f(x) e^{-2\pi i tx} dx$ , le $\widehat{f}(n)$ de mon premier poste devient $\dfrac{\sin^2(\pi n)}{\pi^2 t^2}$ , ce qui n'a rien à voir.

Je trouve que ce n'est pas évident à traiter avec toutes les définitions qu'il existe... Dans mon cours, seule la définition que j'ai donnée à 23h36 figure...

Posté par re : Formule sommatoire de Poisson 26-04-18 à 16:34

Bonjour Ennydra.
Heureusement qu'on peut s'entraider sinon j'y aurai passé le reste de mes jours :

Posté par re : Formule sommatoire de Poisson 26-04-18 à 19:55

Oh, merci beeeeeaucoup !

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