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Formules de Cardan

Posté par
gui_tou 15-09-07 à 21:26

Bonsoir à tous

Je prends la mauvaise habitude de solliciter votre aide pour mes DM
Il y a des petites astuces à voir que je ne vois pas.

Merci d'avance

Citation :
On considère l'équation : (e) : 4$x^3\,+\,px\,+\,q\,=\,0   où 3$p,q\in\mathbb{R}^{\ast}

On note a_1, a_2, a_3 les solutions complexes (distinctes ou non) de cette équation.

1. Donner la valeur de : 3$a_1+a_2+a_3 , 3$a_1a_2+a_1a_3+a_2a_3 , 3$a_1a_2a_3 en fonction de p et q.


Là ca va, en utilisant la forme canonique on arrive sur :

5$\{{ \,a_1+a_2+a_3=0 \\ \,a_1a_2+a_1a_3+a_2a_3=p \\\ \,a_1a_2a_3=-q}

Ensuite je sèche.

Citation :

On pose : 4$u\,=\,a_1\,+\,ja_2\,+\,j^2a_3        et        4$v\,=\,a_1\,+\,j^2a_2\,+\,ja_3

où 4$j=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt3}{2}=e^{2i\frac{\pi}{3}}     et        4$1+j+j^2=0

Exprimer a_1, a_2, a_3 en fonction de u et v.


En bidouillant un peu , je trouve 4$a_1=\frac{u+v}{3}. Mais je bute sur a_2 et a_3

Pour la question suivante,

Citation :
Calculer uv en fonction de p


Je pensais développer uv, mais je ne vois pas comment simplifier par la suite.


Merci à vous

Posté par
lafol Moderateurre : Formules de Cardan 15-09-07 à 21:34

Bonjour
calcule ju, j²u, jv, j²v ....

Posté par
lafol Moderateurre : Formules de Cardan 15-09-07 à 21:34

et utilise que j au cube = 1, donc j^4 =j etc ....

Posté par
gui_toure : Formules de Cardan 15-09-07 à 21:38

Bonjour Lafol

Merci je vais essayer

Posté par
gui_toure : Formules de Cardan 15-09-07 à 21:55

Pour calculer a_2 c'est en fait assez simple.

J'ai 4$a_2=\frac{ju+v}{j^2}

Posté par
gui_toure : Formules de Cardan 15-09-07 à 23:09

Pour calculer a_3, en raisonnant comme a_2 on est susceptible d'avoir a_2=a_3 mais en calculant à partir de a_1+a_2+a_3=0 j'ai

4$\magenta \fbox{a_3=\frac{u(1-2j)+v(j-2)}{3j^2}

Pouvez vous m'éclairer un peu, s'il vous plaît ?

Merci

Posté par
infophilere : Formules de Cardan 15-09-07 à 23:17

Tu cherches quoi maintenant ?

Posté par
gui_toure : Formules de Cardan 15-09-07 à 23:19

Ba en fait j'aimerais avoir une valeur juste de a_3, et calculer uv en fonction de p (bon ça je pense que demain j'y arriverai)

Merci de t'y intéresser

Tu veux une rançon pour ma clé ?

Posté par
infophilere : Formules de Cardan 15-09-07 à 23:29

Tu veux juste un truc en fonction de u et v ?

Non t'inquiète lundi je te la ramène

Posté par
perroquetre : Formules de Cardan 15-09-07 à 23:30

Bonsoir, gui_tou.

Pour les expressions de a_1,a_2,a_3

a_1=\frac{u+v}{3}\quad a_2=\frac{j^2u+jv}{3}\quad a_3=\frac{ju+j^2v}{3}


Pour calculer uv:

uv=a_1^2+a_2^2+a_3^2+j(a_1a_2+a_2a_3+a_1a_3)+j^2(a_1a_2+a_1a_3+a_2a_3)

Donc, comme   a_1^2+a_2^2+a_3^2=(a_1+a_2+a_3)^2-2(a_1a_2+a_1a_3+a_2a_3)

on obtient:
uv=(-2+j+j^2)(a_1a_2+a_1a_3+a_2a_3)=-3p

Posté par
gui_toure : Formules de Cardan 15-09-07 à 23:30

Oui, avec pas trop de j si possible

Garde-la autant que tu veux

Posté par
gui_toure : Formules de Cardan 15-09-07 à 23:33

Clair, net et précis.

Merci Perroquet

En fait pour a_3, les gens de ma classe m'ont dit que c'était la même chose que a_2, et puis avec mes calculs je trouvais autre chose, donc je voulais une confirmation

Perroquet

Posté par
perroquetre : Formules de Cardan 15-09-07 à 23:36


@ +

Posté par
infophilere : Formules de Cardan 15-09-07 à 23:42

J'arrive après la bataille

Bonsoir perroquet

Posté par
gui_toure : Formules de Cardan 15-09-07 à 23:43

plus de 1000 messages sur l'

Posté par
infophilere : Formules de Cardan 15-09-07 à 23:48


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