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Formules de changement de repère
Bonjour,
Dans le cas d'une représentation d'une fonction qui admet une asymptote oblique, je cherche à changer de repère de façon à obtenir une équation plus simple dont l'asymptote devienne un des axes du repère.
A titre d'exemple, voici les deux courbes f et g :
y=f(x)=x+1/x
y=g(x)=x-1/x
Je recherche les formules de transformations d'axe (à base de rotation, je suppose), telles que dans le repère (O, Asymptote obli, y), les équations des courbes deviennent :
Y=F(X)=1/X
Y=G(X)=-1/X
Sauriez-vous m'indiquer la marche à suivre pour ces deux exemples que je pourrais transposer à une asymptote y=ax+b, a>0 et/ou a<0 ?
Merci
Philoux
supposons que l'equation de ton asymptote est y=ax+b
dans la base canonique
un vecteur directeur de cette droite est u(1,a) et un vecteur orthogonal est v(-a,1)
ensuite soit la matrice de passage P de la base canonique (i,j) à (u,v)
P 1 -a
a 1
tu as les changement de coordonnées soit X dans (i,j) et X' ds (u,v)
alors X=PX'
detP=1+ non nul dc P est inversible il suffit de caculer
tu obtiens tes nouvelles coordonnées
X'=X
Merci aicko
mais je désire conserver l'axe y comme deuxième axe, pas prendre l'_|_ à l'AO.
Mon nouveau repère n'est plus orthogonal
Je ne sais pas si je suis bien clair, n'ayant peut-être pas le vocabulaire adéquat
Philoux
>Up
SI d'aucuns ont d'autres idées ?
Merci
Philoux
Bonjour,
Je recherche comment faire des changements de repère afin qu'une expression y=f(x) non (re)connue soit,dans le nouveau repère, une équation connue.
En clair :
soit la fonction : y = (x²+1)/x = x + 1/x représentée en image jointe.
Je cherche les formules de changement de repère (au feeling, il faudrait que l'axe y=x devienne l'axe Ox, à une homothétie près, peut-être), telles que dans ce nouveau repère, l'équation soit Y = 1/X.
Pouvez-vous m'aider ?
Merci
Philoux
*** message déplacé ***
Bonjour,
pour celà il faudrait effectuer une rotation d'angle -Pi/4.
Notamment, fait attention, je ne suis pas sur que tu puisses avoir un repère cartésien dans lequel tu auras x->1/x, ici tu n'auras pas une fonction, mais seulement une équation de courbe. (en faisant ta rotation, tu te rends comptes qu'à un point de l'axe de ton nouveau repère, correspond plusieurs points de la courbe).
il faudrait donc partir de
xy=x²+1 et triturer tout ca.
Je ne suis pas sur que tu arrives à quelque chose de convaincant.
A+
*** message déplacé ***
>otto 16:34
'à un point de l'axe de ton nouveau repère, correspond plusieurs points de la courbe
mais l'axe à tourner est asymptote
il n'y a pas de x avec plusieurs images.
J'dis des bêtises ?
Philoux
*** message déplacé ***
Je ne comprend pas trop ce que tu dis en fait.
Mais regarde ce qui se passe si tu prend une perpendiculaire U à ton asymptote V.
Ton nouveau repère va être (0,U,V) et tu vois que pour un point de U, V (ou une parallel à V) va venir couper ta courbe en plusieurs points.
Dans ton nouveau repère, l'équation que tu donnes n'est donc pas celle d'une fonction.
A+
*** message déplacé ***
Salut
Ton nouveau repère n'est pas forcément orthnormal
Je note (i , j) ton repère actuel (ancien)
Je note (u , v) ton nouveau repère
Essaie u = i + j et v = j
jean-émile
*** message déplacé ***
Erratum
Lire (O , i , j) et (O , u , v)
On garde l'origine O
jean-émile
*** message déplacé ***
Merci à tous les 2
effectivement, le nouveau repère ne sera pas ON.
Je me suis compliqué la vie.
Maintenant, si j'ai 2 arcs de courbes comme ceux-là :
y = f(x) = x+(x²-1)^(1/2)
y = g(x) = x-(x²-1)^(1/2)
Comment dois-je faire pour obtenir la nouvelle équation Y=f(X) ?
Je distingue les Asymptotes y=0 et y=2x mais après ?
merci
Philoux
*** message déplacé ***
Tu notes (x,y) les coordonnées d'un point M quelconque de la courbe dans l'ancien repère (O , i , j) et
(X , Y) les coordonnées de M dans le nouveau repère (O , u , v)
On a donc
vect(OM) = X u + Y v = X (i + j) + Y j = X i + (X + Y) j
Mais j'ai aussi
vect(OM) = x i + y j
Tu peux ainsi calculer x et y en fonction de X et Y
puis tu remplaces dans l'équation y = x + 1/x
jean-émile
*** message déplacé ***
Merci jean-émile
je l'avais en effet fait après ton post de 16:51
Quant à celle de 17:03 ?
cette association de f et g me déroute
Merci
Philoux
*** message déplacé ***
Tu as y = x +- 
(x^2 - 1)
y - x = +- (x^2 - 1)
Élève au carré les deux membres et exprime x en fonction de y
*** message déplacé ***
>jean-émile
ok
y²-2xy-2=0
pour avoir Y=f(X) avec une rotation d'axe y=2x
comment trouver les relations u,v en fonction de i,j ?
Philoux
*** message déplacé ***
Exprime x en fonction de y
x = ....
*** message déplacé ***
Tu dois trouver
x = 1/2 (y + 1/y) avec x et y appartenant à un domzine convenable
*** message déplacé ***
ou encore
y^2 - 2 x y + 1 = 0
Puis comme nouveau repère tu prends le repère des asymptotes :
(O , i , i + 2j)
*** message déplacé ***
Bien vu Nightmare 
tu as été le chercher loin celui-là !
Ne parvenant plus à le retrouver, et sachant que, même avec un UP, je n'avais pas eu de réponses, je me suis contraint à le reposter en le simplifiant.
Philoux
>jean-émile
Heureux de voir que ton post de 18:48 confirme le mien de 17:55 
C'est le changement de variable qui me génait
On a alors :
y²-2xy+1=0
u=i
v=i+2j
OM=xi+yj
OM=Xu+Yv
xi+yj=Xi+Y(i+2j)
x=X+Y
y=2Y
(2Y)²-2(X+Y)2Y+1=0
-4XY+1=0
Y=-1/4X
Merci : c'est ce que je cherchais !
Philoux
Salut philoux
Attention :
-4XY+1=0 donc Y=1/(4X)
Tu peux même obtenir Y = 1/X en prenant u = i et v = 1/4 i + 1/2 j
Tes courbes sont des hyperboles.
Ce qu'il faut c'est prendre un repère de centre le point d'intersection des asymptotes et comme axes prendre les asymptotes elles-mêmes.
Tu obtiens alors Y = a/X
En choisissant judicieusement les vecteurs de base , tu obtiens Y = 1/X
jean-émile
>je 14:20
Oui, bien vu pour le signe.
Ce qu'il faut c'est prendre un repère de centre le point d'intersection des asymptotes et comme axes prendre les asymptotes elles-mêmes
C'est effectivement ce que j'essayais de faire dans ma demande initiale : 
Formules de changement de repère
merci
Philoux
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