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Formules de duplication, équations du second degré.Need help
Bonjour à tous.Je fais appel à vous sur cet exercice car je suis un peu perdu.
(O, 
, 
) est un repère orthonormal direct, ABCDE est un pentagone régulier disposé dans un cercle tel que tous ses sommets touchent le cercle.
Le vecteur OA est confondu avec le vecteur (donc en fait le point A se trouve à l'extrémité du vecteur ).B est à gauche de A, C à gauche de B ... (j'essaie d'expliquer la figure comme je peux mais c'est pas facile)
QUESTIONS
1)Démontrez que (OA) et (OB) sont des axes de symétrie du pentagone.
2)Démontrez que les vecteurs OB + OE et OC + OD sont des vecteurs colinéaires au vecteur OA.
3)a.Déduisez des questions précédentes que la somme des vecteurs OA + OB + OC + OD + OE est colinéaire à la fois aux vecteurs OA et OB
b.Déduisez-en que la somme des vecteurs OA + OB + OC + OD + OE = vecteur nul.
c.Calculez les coordonnées du vecteur OA + OB + OC + OD + OE dans le repère (O, , ).
4)a.Déduisez-en que 1 + 2cos(2 
/5) +2cos(4 /5) = 0
b.On pose cos(2 /5) = x
Démontrez que x est solution de l'équation 4x² + 2x - 1 = 0.Déduisez-en cos(2 /5).
Voilà j'attends vos réponses avec impatience.
PS:excusez-moi pour l'absence des flèches sur les vecteurs mais je n'ai pas de logiciel pour en mettre.
1)AB = AE et OB=OE donc la droite (OA) est la médiatrice de [EB],
donc E et B sont symétriques par rapport à (OA).
De même pour C et D.
On en déduit que (OA) est un axe de symétrie.
De même pour (OB).
2)Les segments [OB] et [OE] sont symétriques par rapport à la droite (OA)
donc le vecteurs OB + OE est colinéaires à un vecteur directeur de
l'axe de symétrie donc par exemple au vecteur OA.
De même pour OC + OD.
3)a)
OA+OB+OC+OD+OE=OA+(OB+OE)+(OC+OD) est la somme de trois vecteurs colinéaires à OA donc c'est un
vecteur colinéaire à OA.
Comme dans la question 2, on montrerait que les vecteurs OA+OC et OD+OE
sont des vecteurs colinéaires au vecteur OB.
Donc OA+OB+OC+OD+OE=OB+(OA+OC)+(OD+OE) est la somme de trois vecteurs
colinéaires à OB donc c'est un vecteur colinéaire à OB.
Donc OA+OB+OC+OD+OE est colinéaire à OA et à OB.
b.Or les vecteurs OA et OB ne sont pas colinéaires donc OA + OB
+ OC + OD + OE est le vecteur nul.
c. Les coordonnées du vecteur OA + OB + OC + OD + OE dans
Le point A a pour coordonnées (1;0)
Le point B a pour coordonnées (cos(2pi/5);sin(2pi/5))
Le point C a pour coordonnées (cos(4pi/5);sin(4pi/5))
Le point D a pour coordonnées (cos(4pi/5);-sin(4pi/5))
Le point E a pour coordonnées (cos(2pi/5);-sin(2pi/5))
Les coordonnées du vecteur OA + OB + OC + OD + OE sont :
(1+2cos(2pi/5)+2cos(4pi/5);0)
4)a.Le vecteur OA + OB + OC + OD + OE étant le vecteur nul, ses coordonnées
sont (0;0) donc son abscisse est nulle
donc 1 + 2cos(2pi/5) +2cos(4pi/5) = 0
b.On pose cos(2pi/5) = x
cos(2x)=2cos²(x)-1
cos(4pi/5)=2cos²(2pi/5)-1=2x²-1
1 + 2cos(2pi/5) +2cos(4pi/5) = 0 ssi 1+2x+4x²-2=0
donc 4x²+2x-1=0
discriminant = 4+16=20
Donc les solutions de l'équation sont :
x=(-2+V20)/8 ou x=(-2-V20)/8
or cos(2pi/5)>0 donc cos(2pi/5)=(-2+V20)/8=(-1+V5)/4.
@+
Victor j'admire ta technique mais pourrais-tu me donner plus de renseignement pour la 3)b) stp
Pourrais-tu me donner une explication plus approfondie stp
Merci
Bonjour, j ai le même genre d exercice à faire et je ne comprends pas je suis totalement perdu je n ai réussi que les deux premières questions
Moi sur la même figure il demande après d avoir déterminé les coordonnées des points de calculer sin 2pi/5 + sin 4pi/5 + son 6pi/5 + sin 8pi/5
Donc j ai trouvé 4pi cela fait 0
Mais ensuite il faut c) en en déduire que le vecteur OA1 + OA2 + OA3+OA4 + OA5 a pour coordonnées (a;0) ( ce sont des vecteurs ) où a est un nombre réel que l on déterminera
Merci de votre aide
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