Bonjour,

Google est ton ami...

Estelle

Euh...merci mais si je pose la question c'est que bien évidemment je n'y ai pas trouvé mon bonheur puisque les sites parlent de formules et bcp moins de fractions.
Donc " le forum " est mon ami pour le coup, comprends-tu ?

Je comprends

Il arrive que certains membres posent une question sans avoir au préalable faire une recherche sur Google ou même sur l' elle-même alors que la réponse aurait pu être facilement trouvée, et je me suis donc permis de te le dire .

Estelle

aucun souci très chère
Note on cause, on cause, mais tout ceci ne répond toujours pas à ma question !

j'ai pas regardé en détail, ça fait un moment que j'ai ce lien, mais ça peut peut-être t'interesser: http://s146372241.onlinehome.fr/web/pi314.net/approx.php
(ou bien ça: http://trucsmaths.free.fr/Pi.htm )

oui je connais ce site, il est très bon par ailleurs mais il est axé principalement sur le formules, la plus grande fraction qui y apparaît est 335/113

Bonjour,

Sans doute que tous ces sites consacrés a Pi ne mentionnent pas d'autres fractions que celles déja connues car le "record" dont tu parles est peut-être le fameux 355/113.

Je pense que de nombreux passionés de ce nombre (dont tu dois faire partie) ont du se remuer les méninges pour trouver une autre fraction encore plus avoisinante, mais il faut tout de meme admettre qu'une valeur approchée à 6 décimales est déja une bonne approximation.

En fait, si un/des quotient(s) plus précis avai(en)t été trouvé(s) je pense qu'il(s) se retrouverai(en)t sur les sites que tu as déja pu consulter.

Voila, je pense donc au final que si un mathilien peut t'aider se sera plus sur l'"aspect recherche" que sur l'"aspect résultat".

Je te met quand même le lien vers <a href="https://www.ilemaths.net/encyclopedie/Pi.html">l'encyclopédie de l'île</a>

Bonne recherche.
Cordialement,

Oui alors ce qui m'intrigue, c'est que pour ma part j'ai trouvé une fraction plus précise, donnant 7 décimales et sauf erreur de ma part, il n'en existe pas une plus petite donnant ce niveau de précision.

La voici :

Salut, Euler avait découvert une fraction donnant 9 décimales mais je ne sais pas si c'est la plus petite avec cette précision.

Il s'agit de 103993/33102

Merci violoncellenoir, je ne la connaissait pas. Je doute qu'on en trouve une plus petite avec cette précision car elle n'est pas bcp plus haute que celle que j'avais trouvé.

Donc si j'ai bien suivi, il devrait en théorie y avoir une fraction avec 8 décimales entre les 2 dernières fractions citées ?

pas nécessairement, je pense qu'on peut trouver des cas avec des fractions supérieures pour un nombre de décimales inférieur. Là on passe de 7 à 9 et peut-être que pour la 8ème, il faut aller plus haut mais pas forcément.

>> olivier6655

Avec puisea on essaie de programmer ça :

précision de 6 chiffres après la virgule :

355/113    710/226    1065/339    1420/452

On te tiens au courant si on trouve d'autres fractions intéressantes

Romain

enfin bon !!

Les 3 dernières fractions que je t'ai donné, on s'en fou un peu !!

C'est des multiples de la première.

Donc 6 chiffres : 355/113

On regarde pour 7 ...

Romain

Ok c'est sympa. Pour 7 décimales j'avais trouvé 89793/28582. Est-ce que vous avez trouvé une fraction plus petite ?

Re

Je n'ai finalement pas réussi à programmer comme je le voulais. Cependant, j'ai 2 autres fractions à te donner :

précision 11 décimales :  833719/265381     1980127/630294

Bonne soirée

Woaw, bon ben c'est le nouveau record ! Tu as programmé cela en quel langage ?

On connaît une série alternée de nombres raionnels qui converge vers pi ce qui permet de donner une fraction qui approche pi à autant de décimales près qu'on veut.

stokastik >

C'est vrai ? ( enfin, j'en doute pas )

Serais-tu en mesure de nous donner cette " série alternée de nombres rationnels qui converge vers pi "  ?

Ou un lien ?

Merci

J'ai envie de latexifier



Avec n=100, on a 49 décimales juste

Donc voila, moment latex à 1h18 environ

Skops

Merci Skops, je connaissais la formule

Mais le problème, c'est qu'après il faut tout mettre au même dénominateur :D



Romain

Por éviter qe je me goure par la suite, cela ferait :

?

Skops

Waow le beau LaTeX

Estelle

Oui

PS : d'après ce que j'ai compris, on cherche des entiers au numérateur et au dénominateur :D

Romain

Skops

Pas pour l'instant, non.

Estelle

Bon, d'accord...

C'est fait

Et on va arrêter le salon de thé

J'ai vu ca
Tu m'étonnes après que je te réponde pas

SKops

Donc je confirme que le but est bel et bien d'avoir des entiers au numérateur et au dénominateur mais ensuite il faut que la fraction proposée soit la plus petite possible en fonction du nombre de décimales.

Je comprends mieux la difficulté car il ne suffit pas de poser par ex :

31415926/10000000 et ensuite de simplier ! On aurait une fraction avec la précision souhaitée mais elle serait à coup sûr trop grande.

Bonjour
Je n'ai toujours pas compris ce que l'on cherche. Je crois que Céline_11 a raison. Tout rationnel strictement plus petit que celui qu'elle propose ne peut pas avoir 6 comme 7-ème décimale, donc je crois que c'est celui-ci le plus petit. (Et ainsi de suite).

Par ailleurs, est-il vrai que la série de Skops qui a en facteur donne des rationnels?

Bonjour, le problème est de trouver la fraction la plus petite égalant Pi pour une troncature à n décimales. Or cette fraction est toute différente de ce dont parle Céline_11 car en effet, même après simplification, il existe une fraction plus petite.

Je recadre le problème pour Camelia :

Imaginons que l'on recherche la plus petite fraction de Pi avec 6 décimales correspondantes. La solution est 355/113

Si on prend la méthode de base, que proposait Céline, on aurait :

3141592/1000000 = 392699/125000 ( après simplification)

On a bien nos 6 décimales mais cette fraction n'est pas la plus petite existante puisque la solution est 355/113.

La difficulté n'est pas trouver une fraction avec une précision n mais que cette fraction soit la plus petite qui existe dans l'absolu.

Trouver la fraction est une chose (déjà compliquée) mais ensuite la logique voudrait que l'on puisse prouver mathématiquement qu'elle est la plus petite. Cela suppose un travail à partir de formules car au-delà de certains nombres on a plus aucun repère.

"Fraction plus petite", tu entends par là plus petits numérateur et dénominateurs ?

En fraction, je ne vois pas trop comment obtenir PI, par contre l'expression exacte de PI peut être donné par la formule suivante :
2*_-1¹(1-x²)dx

Enfin, je vois ce que l'on cherche! Je continue à dire que "la plus petite" est celle proposée par Céline_11. Si on veut le plus petit dénominateur, c'est une autre histoire!

Non, ce qui compte, comme l'a dit violoncellenoir, c'est que le numérateur soit le plus petit possible(et par suite le dénominateur forcément).Pour 2 décimales, avec la méthode de Céline on poserait :

314/100 = 157/50

Eh bien ce n'est pas la solution puisque cette dernière est 22/7. Moralité on ne peut pas pratiquer de la sorte.

Salut Olivier et les autres.

Une autre idee serait d'utiliser les fractions continues en ecrivant sous la forme 3 +

La recherche google "pi fractions continues" semble donner plusieurs resultats interessants.

Par exemple :







Il y en a des tas !

Sinon, si tu n'es pas contre un peu de belle litterature, il existe de nombreux ouvrages speciaux sur PI. J'en ai un vieux "le nombre Pi, aux editions ADCS" qui comporte un chapitre sur les fractions continues.

Ensuite il y a un 2e probleme que l'on peut se poser. Au lieu de trouver les fractions les plus "petites" qui donnent un nombre donne de decimales, on peut chercher les meilleurs approximations possibles.

Ainsi la fraction n'est certes pas plus petite que (qui est la premiere fraction continue obtenue par la methode ci-dessus) mais elle est plus proche de PI tout en ayant 2 decimales correctes.

Et il y en a un certain nombre d'ailleurs dans l'ordre croissant : puis 3 decimales correctes avec

La fraction continue suivante est qui donne 4 decimales correctes.

Ces derniers resultats sont extraits du bouquin en question. Par exemple il demontre que entre et respectivement 3e et 4e fraction continue, il existe 146 autres fractions qui sont de meilleures approximations de PI.

minkus

Au lieu de trouver les fractions les plus "petites" qui donnent un nombre donne de decimales, on peut chercher les meilleurs approximations possibles.
Justement c'est ce que permet les fractions continues. La fraction continue est (dans une certaine mesure) la meilleure approximation rationnelle d'un nombre.
D'ailleurs cette idéé donne lieu ensuite à une nouvelle théorie, très utilisée en ingiénieurie, qui consiste en le développement en fractions continues ou en approximation rationnelle de certaines fonctions.

Oui alors là un nouveau problème apparaît ! Le but est-il de trouver la plus " petite " fraction avec un nombre n de décimales ou alors la fraction avec un nombre n de décimales qui se rapproche le plus de pi ? Parce que dans le 2ème cas, 22/7 tombe...

Oui celine, j'ai bien dit que c'etait un probleme different.

Salut Minkus, Otto, Céline et tout le monde.
Ce dont tu parles en préambule, Minkus, est en effet un autre problème qui est tout aussi intéressant par ailleurs.Mais il est clair que dans la littérature on en parle facilement, tout comme sur de nombreux sites internet. C'est pour cela que j'avais eu l'idée d'aborder le problème sous un angle nouveau, plus sous la forme d'une précision absolue mais plutôt en terme de décimales.L'idée de trouver la plus "petite" fraction peut également, avant le côté esthétique, être simplement utilitaire.Si on veut travailler avec 2 décimales, il sera par exemple plus simple d'oeuvrer avec 22/7 que 179/57.L'ironie veut aussi que 22/7 est légérement plus précis que celui qui mémoriserait les 2 décimales, soit 3.14.

Bonjour
Pour les amateurs d'approximations rationnelles de : La formule de Machin (1706)


jointe au développement de l'arctangente



donnent des approximations rationnelles étonnament précises.

Est-ce que Minkus ou Otto pourrait m'expliquer ce que sont ces fractions continues car en visitant les liens, j'ai eu un peu de mal à saisir la chose ! Merci d'avance

Je vais essayer Celine

Par exemple avec 3,14 tu ecris 3,14 = 3 + =  3 + = 3 + = 3 +

etc...