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Fraction rationnelle

Posté par
Mathes1 19-01-22 à 14:04

Bonjour à tous
J'ai un exercice merci beaucoup d'avance
Décomposer la fraction F en éléments simples dans [X]. Puis dans [X].
1)•F=\dfrac{x+1}{(x-1)²(x²+x+1)}
2)•F=\dfrac{10x}{(x²+1)(x²-4)}
Décomposer cette fraction rationnelle dans [X] uniquement
3)F=\dfrac{x+1}{(x-1)²(x²+1)}
---------------------------------------------
Voici mes suggestions
On remarque dans ces trois fraction que la partie polynomial n'existe pas car deg P<deg Q car F=P/Q
1)
(x²+x+1)=(x-j)(x-j2) où j=e^{i\dfrac{2\pi}{3}}
F=\dfrac{x+1}{(x-1)²(x-j)(x-j²)}
F=\dfrac{a}{x-1}+\dfrac{b}{(x-1)²}+\dfrac{c}{x-j}+\dfrac{d}{x-j²}
Est ce qu'on peut utiliser la réalité c'est à dire le fait que F=\bar{F}
j'ai trouvé b on faisait F(x-1)2 pour x=1
b=\dfrac{2}{(1-j)(1-j²)}=\dfrac{2}{2-e^{i\frac{2\pi}{3}}-e^{i\frac{4\pi}{3}}}=\dfrac{2}{2-e^{i\frac{2\pi}{3}}+e^{i\frac{\pi}{3}}}=\dfrac{2}{3}
Pour c je trouve  en faisant F*(x-j)
Pour x=j
c=\dfrac{-j²}{3-j^4-2j²+j-j²}=\dfrac{-j²}{3-3j²}

Avec j2+j+1=0
Et j2=\bar{j}
J3=1
Pour d j'ai fait F*(x-j2)
En enlevant x=j2
Je trouve d=\dfrac{x+1}{(x-1)²(x-j)}=d
d=\dfrac{j²+1}{(j²-1)²(j²-j)}=\dfrac{-j}{j^6-j^5 -2j^4+2j^3+j²-j}=\frac{-j}{3-3j}
Pour a je pense qu'on peut faire F*X
Et tendre x vers +
Je trouve :
0=a+c+d
a=\dfrac{j²}{3-3j²}+\dfrac{j}{3-3j}
Merci beaucoup d'avance

Posté par
carpediemre : Fraction rationnelle 19-01-22 à 15:56

salut

Mathes1 @ 19-01-2022 à 14:04

Est ce qu'on peut utiliser la réalité c'est à dire le fait que F=\bar{F}  que veut dire cette phrase ?

c=\dfrac{-j²}{3-j^4-2j²+j-j²}=\dfrac{-j²}{3-3j²}

d=\dfrac{j²+1}{(j²-1)²(j²-j)}=\dfrac{-j}{j^6-j^5 -2j^4+2j^3+j²-j}=\frac{-j}{3-3j}

a=\dfrac{j²}{3-3j²}+\dfrac{j}{3-3j}
et les coeficients doivent être écrit sous forme algébrique ou au moins avec un dénominateur réel bien sûr !!! (i.e. sous la forme a + bj avec a et b réels ...

Posté par
larrechre : Fraction rationnelle 19-01-22 à 16:21

Bonjour,

Citation :
les coeficients doivent être écrit sous forme algébrique ou au moins avec un dénominateur réel bien sûr !!! (i.e. sous la forme a + bj avec a et b réels ...


J'ignorais cette obligation. Je me serais donc fait piéger, tout en ayant quand même simplifié, surtout a.

Posté par
carpediemre : Fraction rationnelle 19-01-22 à 16:29

ce n'est pas une obligation stricte ... mais un minimum de bon aloi ... en particulier si on veut revenir dans R ensuite par exemple ...



ici les propriétés de j permettent en tout cas de simplifier considérablement ces coefficients ...

Posté par
Mathes1re : Fraction rationnelle 19-01-22 à 16:29

Bonjour

Citation :
la réalité c'est à dire que 1)•F=\dfrac{x+1}{(x-1)²(x²+x+1)}[X]
On fait F=\bar{F} puis par l'unicité de la décomposition mais on ne peut pas faire puisqu'il y a des facteurs en dénominateur [X]

D'accord
J'ai fait le conjugué :
c=\dfrac{1}{3(1-j)}
d=\dfrac{1}{3(1-j²)}
a=\dfrac{-1}{3}
Merci beaucoup à vous tous

Posté par
carpediemre : Fraction rationnelle 19-01-22 à 16:44

je ne sais pas si c'est ça ... mais vu ma remarque (ici il faut revenir dans R ensuite) je "travaillerais" c et d ...

enfin puisque F est à coefficient réels je ne m'em ... jamais avec j mais je travaille toujours avec i et -i

en notant z* le conjugué

puisque si F(i) = truc alors [F(i)]* = truc* mais alors [F(i)]* = F(-i)

puis considération des parties réelles et imaginaires ... ce qui conduit à deux équations ...

Posté par
Mathes1re : Fraction rationnelle 19-01-22 à 16:53

Au final la décomposition de F dans [X] est :
F=\dfrac{\dfrac{-1}{3}}{x-1}+\dfrac{\dfrac{2}{3}}{(x-1)²}+\dfrac{\dfrac{1}{3(1-j)}}{x-j}+\dfrac{\dfrac{1}{3(1-j²)}}{x-j²}
Si je comprends bien il faut calculer
F(i) et \bar{F(i)} et ensuite
F(-i)=\bar{F(i)}
Et je remplace j par e^{\dfrac{i2\pi}{3}}

Posté par
larrechre : Fraction rationnelle 19-01-22 à 17:02

@Mathes1

Si cela peut te rassurer, sur le plan strictement calculatoire, j'étais arrivé aux résultats que tu donnes à 16h29, étant entendu que b=2/3 (obtenu auparavant).

Ensuite effectivement, ce serait mieux pour la suite "d'arranger" c et d pour avoir des dénominateurs réels.

Posté par
Mathes1re : Fraction rationnelle 19-01-22 à 17:06

Pour obtenir la décomposition en [X] il faut multiplier (x-j)(x-j2) au dénominateur et trouver 3 fraction
Merci beaucoup

Posté par
Mathes1re : Fraction rationnelle 19-01-22 à 18:09

F=\dfrac{\dfrac{-1}{3}}{x-1}+\dfrac{\dfrac{2}{3}}{(x-1)²}+\dfrac{\dfrac{1}{3(1-j)}}{x-j}+\dfrac{\dfrac{1}{3(1-j²)}}{x-j²}
=F=\dfrac{\dfrac{-1}{3}}{x-1}+\dfrac{\dfrac{2}{3}}{(x-1)²}+\dfrac{\dfrac{(x-\bar{j})}{3(1-j)}+\dfrac{(x-j)}{3(1-\bar{j})}}{(x-j)(x-\bar{j})}
F=F=\dfrac{\dfrac{-1}{3}}{x-1}+\dfrac{\dfrac{2}{3}}{(x-1)²}+\dfrac{\dfrac{1}{3}x}{x²+x+1}
Merci beaucoup

Posté par
larrechre : Fraction rationnelle 19-01-22 à 18:17

C'est le bon résultat

Posté par
Mathes1re : Fraction rationnelle 19-01-22 à 18:28

Pour 2) je trouve :
F=\dfrac{a}{x+i}+\dfrac{b}{x-i}+\dfrac{c}{x-2}+\dfrac{d}{x+2}
Dans [X]
Pour a=F*(x+i)(en x=-i)=1
b=F*(x-i)(en x=i)=-1
c=F*(x-2)(en x=2)=1
d=F*(x+2)(en x=-2)=1
D'où la décomposition de F dans [X]
F=\dfrac{1}{x+i}-\dfrac{1}{x-i}+\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{1}{x+2}
Pour obtenir la décomposition en [X]
Je fais (x+i)(x-i) au dénominateur mais toujours reste i dans le numérateur
Merci beaucoup

Posté par
larrechre : Fraction rationnelle 19-01-22 à 18:40

Tu as fait une erreur de signe dans le calcul de a

Posté par
Mathes1re : Fraction rationnelle 19-01-22 à 19:04

Ah oui c'est vrai désolé a=-1
C'est pourquoi il n'est pas disparaît le i dans le numérateur
Enfin la décomposition dans R s'écrit
F=\dfrac{-2x}{x²+1}+\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{1}{x+2}
Merci beaucoup

Posté par
larrechre : Fraction rationnelle 19-01-22 à 19:06

C'est ça.

Posté par
Mathes1re : Fraction rationnelle 19-01-22 à 19:50

D'accord pour 3)
F=\dfrac{a}{(x-1)²}+\dfrac{b}{x-1}+\dfrac{c}{x²+1}
Pour a: F*(x-1)2 (en x=1) =a
a=1
c:F*(x2+1)(en x=i)=c=-1/2+1/2i

X*F(x+)
b=0
Merci beaucoup

Posté par
larrechre : Fraction rationnelle 19-01-22 à 19:59

Non, là c'est faux. Dans la décomposition a priori, le numérateur du terme en 1/(x2 +1)est de la forme cx+d,  et c et d sont nécessairement réels.

Posté par
Mathes1re : Fraction rationnelle 19-01-22 à 20:08

D'accord
F=\dfrac{a}{(x-1)²}+\dfrac{b}{x-1}+\dfrac{cx+d}{x²+1}
Pour a: F*(x-1)2 (en x=1) =a=1
Pour c :F*(x2+1)(en x=i)=cx+d
=-1/2+1/2i
Donc c=-1/2 et d=1/2
X*F(x+)
b+c=0<=> b=-c =1/2
Merci beaucoup

Posté par
larrechre : Fraction rationnelle 19-01-22 à 23:06

Citation :
Pour c :F*(x2+1)(en x=i)=cx+d
=-1/2+1/2i
Donc c=-1/2 et d=1/2
X*F(x+)
b+c=0<=> b=-c =1/2


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