Sauf s'il existe une formule à laquelle nous n'avons pas pensé

Juste pour information, voici la liste des décompositions que mon programme utilise. C'est la liste des décompositions en 2 ou 3 termes avec des dénominateurs inférieurs à 100.

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 1: [2, 3, 6]
 2: [3, 6], [3, 7, 42], [3, 8, 24], [3, 9, 18], [4, 5, 20], [4, 6, 12], [3, 10, 15]
 3: [4, 12], [5, 9, 45], [6, 7, 42], [6, 8, 24], [6, 9, 18], [4, 14, 84], [4, 15, 60], [4, 16, 48], [4, 18, 36], [4, 20, 30], [4, 21, 28], [5, 10, 30], [5, 12, 20], [6, 10, 15]
 4: [5, 20], [6, 12], [8, 9, 72], [5, 28, 70], [5, 30, 60], [5, 36, 45], [6, 14, 84], [6, 15, 60], [6, 16, 48], [6, 18, 36], [6, 20, 30], [6, 21, 28], [7, 12, 42], [7, 14, 28], [8, 10, 40], [8, 12, 24], [9, 12, 18], [10, 12, 15]
 5: [6, 30], [6, 45, 90], [6, 48, 80], [6, 50, 75], [6, 55, 66], [7, 30, 42], [8, 16, 80], [8, 20, 40], [8, 24, 30], [9, 15, 45], [9, 18, 30], [10, 12, 60], [10, 14, 35], [10, 15, 30], [12, 15, 20]
 6: [7, 42], [8, 24], [9, 18], [10, 15], [7, 78, 91], [8, 32, 96], [8, 33, 88], [8, 36, 72], [8, 40, 60], [8, 42, 56], [9, 22, 99], [9, 24, 72], [9, 27, 54], [9, 30, 45], [10, 18, 90], [10, 20, 60], [10, 24, 40], [11, 22, 33], [12, 14, 84], [12, 15, 60], [12, 16, 48], [12, 18, 36], [12, 20, 30], [12, 21, 28], [14, 15, 35]
 7: [8, 56], [9, 56, 72], [10, 35, 70], [10, 40, 56], [12, 21, 84], [12, 24, 56], [12, 28, 42], [14, 18, 63], [14, 21, 42], [15, 21, 35]
 8: [9, 72], [10, 40], [12, 24], [10, 72, 90], [11, 44, 88], [12, 32, 96], [12, 33, 88], [12, 36, 72], [12, 40, 60], [12, 42, 56], [14, 24, 84], [14, 28, 56], [14, 35, 40], [15, 24, 60], [15, 30, 40], [16, 20, 80], [16, 24, 48], [18, 24, 36], [20, 24, 30], [21, 24, 28]
 9: [10, 90], [12, 36], [12, 60, 90], [12, 63, 84], [14, 35, 90], [14, 36, 84], [14, 42, 63], [15, 30, 90], [15, 35, 63], [15, 36, 60], [16, 36, 48], [18, 22, 99], [18, 24, 72], [18, 27, 54], [18, 30, 45], [20, 30, 36], [21, 28, 36]
10: [12, 60], [14, 35], [15, 30], [14, 60, 84], [15, 45, 90], [15, 48, 80], [15, 50, 75], [15, 55, 66], [16, 40, 80], [16, 48, 60], [17, 34, 85], [18, 30, 90], [18, 35, 63], [18, 36, 60], [20, 28, 70], [20, 30, 60], [20, 36, 45], [21, 28, 60], [21, 35, 42], [24, 30, 40]
11: [20, 44, 55], [21, 33, 77], [22, 33, 66]
12: [14, 84], [15, 60], [16, 48], [18, 36], [20, 30], [21, 28], [18, 60, 90], [18, 63, 84], [19, 57, 76], [20, 45, 90], [20, 48, 80], [20, 50, 75], [20, 55, 66], [21, 42, 84], [21, 44, 77], [22, 36, 99], [22, 44, 66], [24, 32, 96], [24, 33, 88], [24, 36, 72], [24, 40, 60], [24, 42, 56], [26, 39, 52], [27, 36, 54], [28, 30, 70], [30, 36, 45]
13: [26, 39, 78]
14: [18, 63], [21, 42], [21, 78, 91], [22, 63, 99], [24, 56, 84], [24, 63, 72], [27, 54, 63], [28, 42, 84], [28, 44, 77], [30, 42, 70], [30, 45, 63], [35, 40, 56]
15: [18, 90], [20, 60], [24, 40], [22, 90, 99], [24, 72, 90], [26, 65, 78], [27, 54, 90], [28, 60, 70], [30, 45, 90], [30, 48, 80], [30, 50, 75], [30, 55, 66], [32, 40, 96], [33, 40, 88], [35, 42, 70], [35, 45, 63], [36, 40, 72], [36, 45, 60], [40, 42, 56]
16: [20, 80], [24, 48], [28, 70, 80], [30, 60, 80], [32, 48, 96], [33, 48, 88], [36, 45, 80], [36, 48, 72], [40, 48, 60], [42, 48, 56]
18: [22, 99], [24, 72], [27, 54], [30, 45], [32, 72, 96], [33, 66, 99], [33, 72, 88], [35, 63, 90], [36, 60, 90], [36, 63, 84], [40, 60, 72], [42, 56, 72], [45, 48, 80], [45, 50, 75], [45, 55, 66]
20: [28, 70], [30, 60], [36, 45], [38, 76, 95], [40, 72, 90], [42, 70, 84], [44, 70, 77], [45, 60, 90], [45, 63, 84], [48, 60, 80], [50, 60, 75], [55, 60, 66]
21: [28, 84], [30, 70], [42, 78, 91], [44, 77, 84], [45, 70, 90], [48, 70, 80], [50, 70, 75], [55, 66, 70], [56, 63, 72]
22: [33, 66], [55, 70, 77]
24: [32, 96], [33, 88], [36, 72], [40, 60], [42, 56], [56, 78, 91], [60, 72, 90], [63, 72, 84]
26: [39, 78]
28: [42, 84], [44, 77], [78, 84, 91]
30: [45, 90], [48, 80], [50, 75], [55, 66]
32: [48, 96]
35: [60, 84]
36: [60, 90], [63, 84]
40: [72, 90]
42: [78, 91]

Si on a un nombre premier supérieur à 50 dans notre sélection, quand on réduit toute notre somme de termes au même dénominateur, on a termes qui sont multiples de , mais pas le dernier. Donc le numérateur n'est pas multiple de , donc la somme ne donne pas .
Conclusion : on exclue d'entrée tous les premiers supérieurs à 50,
et pour les premiers entre 33 et 49, on sait que s'ils sont sélectionnés, on a aussi .
Et on a aussi des règles presque similaires pour les premiers plus petits.

En fait, je n'ai pas poussé l'idée assez loin.
Supposons qu'on ait 47 dans notre série de nombres.
Selon l'argument ci-dessus, on doit aussi avoir 94.
On a donc 1/47+1/94 + d'autres fractions.
1/47+1/94=3/94
Et dans notre somme, après réduction au même dénominateur, au dénominateur, on a un multiple de 47, mais au numérateur, on a une somme de plusieurs termes dont tous sont multiples de 47, sauf 1.
Donc on ne peut pas avoir 1 comme résultat de cette somme.
Donc, en plus de nombres premiers plus grands que 50, il y a plein d'autres nombres qui sont exclus d'entrée :
47, 94
43, 86
41, 82
37, 74,
31,62,93,
29,58,87,
23,46,69,92 :  on ne peut pas combiner ces 4 nombres pour avoir 23 au numérateur.
Si 19 ou un multiple de 19 apparaît, que peut-on avoir ?
La seul configuration est 38, 76, 95, qui donnent : 1/38+1/76+1/95=(10*19+5*19+4*19)/19*4*5=1/20
19 et 57 ne peuvent pas apparaître, et on a soit le triplet (38,76,95), soit aucun de ces 3 nombres

Pour les multiples de 17, c'est similaire. Soit on a 17, 34 et 85, soit on n'a aucun de ces 3 nombres. Et on n'a jamais 51 ni 68
1/17+1/34/1/85=1/10

Parmi les multiples de 13, on peut avoir 78 et 91 : 1/78+1/91=1/42
A vérifier, mais je ne vois pas d'autre assemblage qui convienne.

Pour les multiples de 11, on peut avoir (11,22,33), ou (22,44,66) ou encore (44,77), plus ceux que j'oublie certainement.

Ca fait quand même pas mal de cas en moins à étudier si on se lance dans une recherche exhaustive.

Bonsoir
Bonne remarque ty59847

Oui, regarder ce qui se passe quand on réduit au même dénominateur est une bonne idée !

Bonjour,
Je pense qu'il y a prescription
Je réitère donc ma demande :

Bonsoir Sylvieg.
J'aimerais bien, moi aussi, voir cette preuve.
J'espère que Vassillia va nous la donner.

Bonjour à tous.

J'ai une démonstration du fait que "42 est le nombre maximum".
Elle est assez longue et je vais donc la faire en plusieurs étapes.

La première étape consiste à partir des résultats obtenus par ty59847. Je les rappelle:

1) Aucun entier premier compris entre 50 et 99 ne peut intervenir dans une décomposition de 1 en somme d'inverses d'entiers compris entre 1 et 99 (inclus).
2) Il en est de même pour la liste des entiers suivants:
47 , 94
43 , 86
41 , 82
37 , 74
31 , 62 , 93
29 , 58 , 87
23 , 46 , 69, 92

Je reviendrai plus tard sur l'étude faite pour les multiples de 19 , 17 , 13 , 11, qui est exacte dans le principe mais comporte quelques erreurs ou imprécisions.

La deuxième étape consiste à élargir la liste des "entiers interdits":

1) 64 est le seul multiple de compris entre 1 et 99 ...
2) 25. En effet, il y a trois multiples de compris entre 1 et 100. Il y a une seule combinaison qui permet d'éliminer au dénominateur:   .
3) 49, 98 . En effet, ce sont les deux seuls multiples de compris entre 1 et 99

La troisième étape consiste à étudier les multiples de 19, 17 et 13.
L' étude exhaustive de toutes les combinaisons à étudier est assez pénible à faire (surtout pour les multiples de 13, en fait).

J'ai donc écrit une petite fonction python pour le faire à ma place.

from fractions import Fraction

def cherche(n,p):
    a = [0 for k in range(p)]
    test =True
    while test == True:
        i = 0
        while i<p and a[i] == 1:
            i += 1
        if i == p:
            test = False
        else:
            for k in range(i):
                a[k]=0
            a[i] = 1
            x = sum(a[v]*Fraction(1,v+1) for v in range(p))
            if x.numerator % n == 0:
                print(x,a)

Explication sommaire: on cherche à tester les entiers n , 2n ,  ... , pn pour voir si une combinaison   a un dénominateur qui n'est pas multiple de . La fonction renvoie les combinaisons possibles.

Essai avec 19:

cherche(19,5)
19/12 [1, 0, 1, 1, 0]
19/20 [0, 1, 0, 1, 1]

Traduction: il y a deux combinaisons possibles:


Rappel: ty59847 avait oublié l'une des combinaisons

Essai avec les multiples de 17:
cherche(17,5)
17/10 [1, 1, 0, 0, 1]

Traduction: il y a une seule combinaison possible:


Rappel: ty59847 avait établi ce résultat

Cela nous donne deux nouveaux "nombres interdits":
51 , 68

Essai avec 13 :
cherche(13,7)
13/12 [0, 1, 1, 1, 0, 0, 0]
39/20 [1, 1, 0, 1, 1, 0, 0]
13/15 [0, 1, 0, 0, 1, 1, 0]
39/20 [1, 0, 1, 1, 1, 1, 0]
39/28 [1, 0, 0, 1, 0, 0, 1]
247/210 [0, 1, 1, 0, 1, 0, 1]
13/42 [0, 0, 0, 0, 0, 1, 1]
39/28 [0, 1, 1, 1, 0, 1, 1]
949/420 [1, 1, 0, 1, 1, 1, 1]

Beaucoup de solutions que je ne vais pas détailler.
J'y reviendrai plus tard

On va maintenant montrer qu'il n'existe pas de décomposition de 1 en somme d'au moins 43 inverses d'entiers compris entre 1 et 99. Supposons qu'il existe une telle décomposition et notons l'ensemble des entiers intervenant dans cette décomposition. L'étude précédente a montré que est inclus dans , avec:

G = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16}
F = {17,18,19,20,21,22,24,26,27,28,30,32,33,34,35,36,38,39,40,42,44,45,48,50,52,54,55,56,57,60,63,65,66,
70,72,75,76,77,78,80,84,85,88,90,91,95,96,99}

Pourquoi avoir choisi et ainsi ?
L'étude des "solutions à 42 entiers" données par montre que ces solutions comportent au moins 41 éléments de et au plus un élément de . On voit donc que pour obtenir une décomposition de 1 en somme d'inverses de nombreux entiers compris entre 1 et 99, il faut enlever quelques éléments de et rajouter éventuellement 1 ou 2 entiers de . Il faut évidemment le démontrer et c'est ce que je vais m'attacher à faire.

Là aussi, j'ai utilisé Python pour m'assister.

code Python

from fractions import Fraction

a=[17,18,19,20,21,22]
b=[24,26,27,28,30,32,33,34,35,36,38,39,40,42,44,45,48,50,52,54,55,56,57,60,63,65,66]
c=[70,72,75,76,77,78,80,84,85,88,90,91,95,96,99]

x = sum(Fraction(1,k) for k in c) + sum(Fraction(1,k) for k in b) + sum(Fraction(1,k) for k in a)

def essai(u):
    return x-sum(Fraction(1,k) for k in u)

Explication sommaire:
Dans a,b,c, on reconnaît l'ensemble , je l'ai découpé en 3 pour des raisons de lisibilité du programme.
essai(u) renvoie la somme des éléments de privée des éléments de u.

Illustration:
essai([17,18,19,20,21])
Out[4]: Fraction(1191857, 1322685)
La somme des 43 plus petits éléments de est égale à   .
(si cette somme avait été strictement supérieure à 1, cela aurait terminé la démonstration ...)

Tout est en place maintenant pour avancer relativement vite.
(je sais, c'est très long ...)

Je viens de m'apercevoir d'une erreur. Il ne s'agit pas de la "somme des éléments de " mais de la "somme des inverses des éléments de ". Même chose lorsqu'on remplace par d'autres ensembles.

Premier résultat:
s'il existe un ensemble de cardinal au moins 43 dont la somme des inverses des éléments est égale à 1, alors, contient obligatoirement des multiples de 19.

En effet:
essai([19,38,57,76,95])
Out[8]: Fraction(8563, 8190)

La somme des inverses des 43 plus petits éléments de privé des multiples de 19 est strictement supérieure à 1.

Il y a donc deux cas:
1) contient  38 , 76 , 95
2) contient  19 , 57 ,76

Je reviens sur les multiples de 13 qui peuvent apparaître dans une décomposition de 1 en somme d'inverses d'entiers compris entre 1 et 99.
Reprenons le résultat établi dans un post précédent:

cherche(13,7)
13/12 [0, 1, 1, 1, 0, 0, 0]
39/20 [1, 1, 0, 1, 1, 0, 0]
13/15 [0, 1, 0, 0, 1, 1, 0]
39/20 [1, 0, 1, 1, 1, 1, 0]
39/28 [1, 0, 0, 1, 0, 0, 1]
247/210 [0, 1, 1, 0, 1, 0, 1]
13/42 [0, 0, 0, 0, 0, 1, 1]
39/28 [0, 1, 1, 1, 0, 1, 1]
949/420 [1, 1, 0, 1, 1, 1, 1]

Illustration et commentaires:

Il y a 8 possibilités:

Toutes les solutions à 42 entiers trouvées par LittleFox ont les entiers  26,39,52,78,91 et n'ont pas l'entier 65.


J'ai trouvé des solutions à 42 entiers comprenant les entiers 13,26,52,65,78,91, dont une à plus grand terme entier 96.


Là aussi, j'ai trouvé des solutions à 42 entiers

Je vais maintenant étudier les solutions avec au moins 43 entiers parmi lesquels on trouve 19,57,76  (pour montrer qu'il n'y en a pas). Je rappelle qu'alors 38 et 95 ne font pas partie des entiers en question.

De telles solutions comportent obligatoirement 17,34,85. En effet, supposons que ce ne soit pas le cas.

essai([38,95,17,34,85])
Out[3]: Fraction(16853, 16380)
La somme des inverses des 43 éléments le plus petits possibles dépasse strictement 1. C'est impossible.

On considère maintenant l'ensemble des multiples de 13 faisant partie des 43 (ou davantage) entiers considérés. On arrive à chaque fois à une contradiction.
Si 65 ne fait pas partie de cet ensemble:
essai([38,95,65,18,20])
Out[4]: Fraction(127, 126)
La somme des inverses des 43 éléments le plus petits possibles dépasse strictement 1. C'est impossible.
Si 52 et 78 ne font pas partie de l'ensemble:
essai([38,95,52,78,18])
Out[6]: Fraction(328, 315)
Même raisonnement.
Si 39 ne fait pas partie de l'ensemble et 13 en fait partie:
essai([38,95,39,18,20,21])+Fraction(1,13)
Out[8]: Fraction(647, 630)
Là aussi
Si 26 et 91 ne font pas partie de l'ensemble:
essai([38,95,26,91,18])
Out[10]: Fraction(16771, 16380)
Terminé.
Autres cas:
Ils se ramènent aux précédents.

On n'a plus qu'à étudier les solutions avec au moins 43 entiers parmi lesquels on trouve 38,76,95  (pour montrer qu'il n'y en a pas). Je rappelle qu'alors 19 et 57 ne font pas partie des entiers en question.

On va éliminer méthodiquement tous les ensembles de multiples de 13 possibles.

Ensemble {26,39,52}
essai([19,57,65,78,91])
Out[11]: Fraction(1331, 1260)

Ensemble {13,26,52,65}
essai([19,57,39,78,91])
Out[12]: Fraction(3427, 3276)

Ensemble {26,65,78}
essai([19,57,39,52,91])
Out[13]: Fraction(131, 126)

Ensemble {13,39,52,65,78}
essai([19,57,26,91,17,18])+Fraction(1,13)
Out[14]: Fraction(4321, 4284)

Ensemble {13,52,91}
essai([19,57,39,65,78])
Out[16]: Fraction(17063, 16380)

Ensemble {78,91}
essai([19,57,39,52,65])
Out[17]: Fraction(8479, 8190)

Ensemble {26,39,65,91}
essai([19,57,52,78,17])
Out[18]: Fraction(1076, 1071)

Ensemble {13,26,52,65,78,91}
nécessite une étude complémentaire

Ensemble {26,39,52,78,91]
nécessite une étude complémentaire

C'est vraiment très long ...

On étudie donc le cas où la décomposition de 1 en somme d'inverses d'entiers compris entre 1 et 99 utilise les entiers 38,76,95 et 13,26,52,65,78,91.
Cela implique qu'on n'utilise pas 19,57,39 dans l'ensemble des 48 entiers définis précédemment. La somme des 45 entiers restants et de 1/13 vaut:

essai([19,57,39])+Fraction(1,13)
Out[2]: Fraction(289, 252)

On remarque que le dénominateur est un multiple de 7. Il nous faut donc enlever de notre liste de 45  entiers au moins un multiple de 7 ou rajouter 14 ou rajouter 7.

Si nous rajoutons 14 ou 7 :
La plus petite somme que l'on puisse obtenir avec la somme de 43 inverses vaut
essai([19,57,39,17,18,20])+Fraction(1,13)+Fraction(1,14)
Out[13]: Fraction(11287, 10710)
C'est impossible.

Si nous enlevons un unique multiple de 7:
En essayant les multiples de 7 l'un après l'autre, nous trouvons qu'il y a deux possibilités, 28 et 77:

essai([19,57,39,28])+Fraction(1,13)
Out[14]: Fraction(10, 9)
Mais dans ce cas-là, la plus petite somme que l'on puisse obtenir avec la somme de 43 inverses vaut:
essai([19,57,39,28,18,20])+Fraction(1,13)
Out[15]: Fraction(181, 180)
C'est trop grand

essai([19,57,39,77])+Fraction(1,13)
Out[16]: Fraction(449, 396)
Mais dans ce cas-là, la plus petite somme que l'on puisse obtenir avec la somme de 43 inverses vaut:
essai([19,57,39,77,18,20])+Fraction(1,13)
Out[17]: Fraction(509, 495)
C'est trop grand

NB: On ne pouvait pas enlever 17 parce que, dans ce cas, il aurait fallu enlever aussi 34 et 85

Si on enlève au moins deux multiples de 7:
Dans ce cas-là, la plus petite somme que l'on puisse obtenir avec la somme de 43 inverses vaut:
essai([19,57,39,21,28,18])+Fraction(1,13)
Out[18]: Fraction(127, 126)
Trop grand.

Conclusion:
Il n'existe aucune décomposition de 1 en somme de 43 inverses d'entiers compris entre 1 et 99 avec les hypothèses faites au début de ce post.

On étudie donc le cas où la décomposition de 1 en somme d'inverses d'entiers compris entre 1 et 99 utilise les entiers 38,76,95 et 26,39,52,78,91.
Cela implique qu'on n'utilise pas 19,57,65 dans l'ensemble des 48 entiers définis précédemment. La somme des 45 entiers restants vaut:

essai([19,57,65])
Out[19]: Fraction(1361, 1260)

On remarque que le dénominateur est un multiple de 7. Il nous faut donc enlever de notre liste de 45  entiers au moins un multiple de 7 ou rajouter 14 ou rajouter 7.

Si nous rajoutons  7 :
La plus petite somme que l'on puisse obtenir avec la somme de 43 inverses vaut
essai([19,57,65,18,20,21])+Fraction(1,7)
Out[23]: Fraction(337, 315)
C'est trop grand.

Si nous rajoutons 14:
essai([19,57,65])+Fraction(1,14)
Out[24]: Fraction(1451, 1260)
Le dénominateur est toujours un multiple de 7. Il faut donc enlever un autre multiple de 7. En essayant les multiples de 7 l'un après l'autre, nous trouvons qu'il y a une possibilité, 42.

essai([19,57,65,42])+Fraction(1,14)
Out[25]: Fraction(203, 180)

Mais dans ce cas-là, la plus petite somme que l'on puisse obtenir avec la somme de 43 inverses vaut:
essai([19,57,65,42,18,20])+Fraction(1,14)
Out[26]: Fraction(46, 45)
C"est trop grand.

On examine 77
essai([19,57,65,77])
Out[34]: Fraction(2113, 1980)
La plus petite somme de 43 inverses d'entiers vaut dans ce cas:
essai([19,57,65,77,18])
Out[36]: Fraction(2003, 1980)
C'est trop grand


Si nous enlevons un unique multiple de 7:
En essayant les multiples de 7 l'un après l'autre, nous trouvons qu'il y a deux possibilités, 28 et 77:

On examine 28
essai([19,57,65,28])
Out[27]: Fraction(47, 45)

Il reste un ensemble de 44 entiers possibles et les 16 entiers compris entre 1 et 16.
Il n'est pas possible d'enlever un seul entier, 2/45 ne s'écrivant pas sous la forme 1/n.
On doit donc rajouter au moins un entier compris entre 1 et 16. Mais dans ce cas, la plus petite somme possible de 43 inverses vaut:
essai([19,57,65,28,20,18])+Fraction(1,16)
Out[31]: Fraction(721, 720)
C'est (un peu) trop grand.

Si on enlève au moins deux multiples de 7:
On peut enlever 21 et 28.
essai([19,57,65,28,21])
Out[32]: Fraction(314, 315)
La somme ne fait pas 1.

Dans tous les autres cas, la somme est supérieure à
essai([19,57,65,28,35])
Out[33]: Fraction(64, 63)
C'est trop grand.




Conclusion:
Il n'existe aucune décomposition de 1 en somme de 43 inverses d'entiers compris entre 1 et 99 avec les hypothèses faites au début de ce post.

Et ceci termine enfin la démonstration demandée par Sylvieg et verdurin.

Pour obtenir 1 comme somme de 43 inverses d'entiers, il suffit de rajouter 100 et de remarquer que:


Pour obtenir 1 comme somme de 44 inverses d'entiers, il suffit de rajouter 102 et de remarquer que:

J'ai trouvé 25 décompositions de 1 en somme de 42 inverses d'entiers compris entre 1 et 99. Je ne suis pas certain que ce soient les seules.
J'ai obtenu cette liste en commençant par raisonner avec les multiples de 19, puis avec les multiples de 13, puis avec les multiples de 7, ce qui donne les 4 ou 5 premiers termes enlevés. Après, ce sont plus des devinettes qu'un raisonnement. Je n'ai pas le courage de terminer l'étude.

essai([19,57,65,28,20,18,45])+Fraction(1,12)
essai([19,57,65,28,54,27,18])+Fraction(1,15)
essai([19,57,65,28,99,22,18])+Fraction(1,15)
essai([19,57,65,28,30,45,18])+Fraction(1,15)
essai([19,57,65,28,30,90])
essai([19,57,65,28,36,20,30])+Fraction(1,15)
essai([19,57,65,28,36,60])
essai([19,57,65,28,35,63])
essai([19,57,65,21,63,18,36])+Fraction(1,15)
essai([19,57,65,21,63,20,30])+Fraction(1,15)
essai([19,57,65,21,63,60])
essai([19,57,65,35,42,36])
essai([19,57,65,63,70,20])
essai([19,57,65,42,18,20,45])+Fraction(1,14)
essai([19,57,39,28,18,27,54])+Fraction(1,13)
essai([19,57,39,28,18,22,99])+Fraction(1,13)
essai([19,57,39,28,18,30,45])+Fraction(1,13)
essai([19,57,39,28,36,20,30])+Fraction(1,13)
essai([19,57,39,21,63,18,36])+Fraction(1,13)
essai([19,57,39,21,63,20,30])+Fraction(1,13)
essai([19,57,52,78,28,36])
essai([19,57,52,78,21,63])
essai([38,95,65,28,18,45])
essai([38,95,65,28,36,20])
essai([38,95,65,21,63,20])