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Niveau énigmes
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Fractions égyptiennes

Posté par
Vassillia
18-06-22 à 18:21

Bonjour, par cette température excessive, nous ne pouvons utiliser que des fractions égyptiennes c'est à dire le numérateur est 1 et le dénominateur est un entier strictement positif et strictement inférieur à 100.
L'objectif est de trouver le plus grand nombre possible de fractions égyptiennes qui doivent être différentes deux à deux et dont la somme doit valoir 1.
A vos propositions.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Fractions égyptiennes 18-06-22 à 22:16

Bonsoir,
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/12 + 1/24

Posté par
verdurin
re : Fractions égyptiennes 18-06-22 à 22:25

J'ai l'impression qu'elles dérivent toutes de \dfrac12+\dfrac13+\dfrac16=1

Posté par
Vassillia
re : Fractions égyptiennes 18-06-22 à 22:32

Joli début à vous deux mais on peut faire mieux au sens faire apparaitre encore plus de fractions dans la somme. Pour le moment Sylvieg a la meilleure proposition.

Posté par
verdurin
re : Fractions égyptiennes 18-06-22 à 23:17

On peut écrire :
1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/48+1/96=1

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Fractions égyptiennes 19-06-22 à 07:55

Et aussi :
1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/12+1/56+1/70=1
8 est sans doute le maximum.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Fractions égyptiennes 19-06-22 à 08:11

Non, ce n'est pas le maximum :
1/4+1/5+1/6+1/7+1/9+1/12+1/56+1/70+1/72 = 1

Une formule utile :

 Cliquez pour afficher

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Fractions égyptiennes 19-06-22 à 08:51

Avec 10 fractions :

 Cliquez pour afficher
Je n'ai pas beaucoup de mérite car je me suis déjà intéressée aux fractions égyptiennes : Avec des fractions égyptiennes

Posté par
dpi
re : Fractions égyptiennes 19-06-22 à 09:52

Au hasard:
1/2+1/5+1/8+1/10+1/16+1/80   pour tester...

Posté par
dpi
re : Fractions égyptiennes 19-06-22 à 10:13

En trichant à peine  sur le dernier
1/4+1/6+1/8+1/10+1/12+1/15+1/16+1/20+1/25+1/45+1/50+1/90+1/400

Posté par
Vassillia
re : Fractions égyptiennes 19-06-22 à 11:03

J'accepte ta première proposition mais pas la deuxième dpi, j'ai vu la triche.
Merci pour le lien Sylvieg, j'ai testé le programme de Mathafou pour le nombre de fractions que je connais comme étant le max et il me répond "temps de calcul tres long, voire interminable.
Continuer quand même ?"
Record à battre 10 fractions pour l'instant, on a encore une marge de progression intéressante

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Fractions égyptiennes 19-06-22 à 11:30

Avec ma formule, en partant du 1/2+1/5+1/8+1/10+1/16+1/80 de dpi, j'en trouve 13 :

 Cliquez pour afficher
Faut-il blanker ou pas ?

Posté par
verdurin
re : Fractions égyptiennes 19-06-22 à 12:00

Je tente 14

 Cliquez pour afficher

Posté par
verdurin
re : Fractions égyptiennes 19-06-22 à 12:04

Oups, j'en ai oublié une, ça fait donc quinze.

 Cliquez pour afficher

Posté par
mathafou Moderateur
re : Fractions égyptiennes 19-06-22 à 12:24

Bonjour,

la formule de Sylvieg à 08:11

 Cliquez pour afficher

quant à mon programme il cherche toutes les décompositions à n termes (pour un nombre de termes fixé) , par force brute
et évidemment si on lui en demande trop ça déborde ... (les dernières fractions seront avec un dénominateur astronomique)

 Cliquez pour afficher

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Fractions égyptiennes 19-06-22 à 12:27

@verdurin
Et si tu remplaçais 1/6 par 1/7+1/42 ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Fractions égyptiennes 19-06-22 à 12:28

@mathafou,
La formule de 08:11 ne fait pas de miracle, car on veut des dénominateurs distincts...

Posté par
Vassillia
re : Fractions égyptiennes 19-06-22 à 12:39

Je sais mathafou mais comme j'impose la restriction dénominateur strictement inférieur à 100, il y a forcément un maximum sur le nombre de fractions et on n'y est pas encore, courage !
L'association de verdurin et Sylvieg a permis d'obtenir 16 fractions.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Fractions égyptiennes 19-06-22 à 13:16

ah d'accord, j'avais zappé le "dénominateur < 100"
n'étant pas chez moi je ne peux faire la modif de mon programme "force brute" en le bridant à 100
mais ça ne doit pas résister longtemps à un programme
todolist : ajouter un champ "dénominateur maxi" dans mon programme au lieu du maxint des débordements arithmétiques
en plus ça élague "en profondeur" aussi

Sylvieg :
n+1 et n(n+1) sont différents de tous les nombres < n
récursivement
une fois franchie l'étape 1 = 1/2 + 1/2 on obtient 1/2+1/3+1/6 et ensuite uniquement des décomposions "normales"
mais ce sera ici de peu d'utilité à cause du critère "n(n+1) < 100"
et cette méthode itérative ne donne pas toutes les décompositions normales.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Fractions égyptiennes 19-06-22 à 15:44

J'ai encore amélioré la somme de verdurin :

 Cliquez pour afficher
J'ai fait des paquets de 5 pour compter plus facilement.

Posté par
verdurin
re : Fractions égyptiennes 19-06-22 à 16:29

Bravo Sylvieg.
Je crois qu'on ne peut plus améliorer cette somme.
Il va falloir partir sur de nouvelles bases pour aller plus loin, si c'est possible.
J'étais parti de 1/3+1/4+1/5+1/6+1/20.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Fractions égyptiennes 19-06-22 à 17:08

Pour partir sur de nouvelles bases, le programme de mathafou peut être utilisé :
Il fonctionne pour des sommes de 8 fractions.
Pour plus, si on insiste trop pour continuer, il finit par répondre qu'il n'y a pas de solution (alors qu'il y en a).

Posté par
dpi
re : Fractions égyptiennes 19-06-22 à 17:41

oui
J'ai regardé et testé avec plaisir,blocage dès n=9 ,il y a certainement
une astuce pour retrouver ton n=18 qui semble imbattable

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Fractions égyptiennes 19-06-22 à 18:55

Pas d'astuce, mais beaucoup d'essais en utilisant

\dfrac{1}{n} = \dfrac{1}{n+1} + \dfrac{1}{n(n+1)} \; et \; \dfrac{1}{n} = \dfrac{1}{2n} + \dfrac{1}{3n} + \dfrac{1}{6n}

Posté par
Vassillia
re : Fractions égyptiennes 19-06-22 à 19:20

Mais si, le record de Sylvieg tout impressionnant qu'il soit est largement améliorable. Bravo tout de même.

Posté par
verdurin
re : Fractions égyptiennes 19-06-22 à 21:46

Demain je pars dans un endroit où internet n'existe pas.
Quand je reviendrais il est presque certain que le résultat optimal aura été trouvé.
J'aimerais que Vassillia en donne une preuve.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Fractions égyptiennes 19-06-22 à 21:53

Moi, c'est demain et après demain que je disparais
Mais verdurin et moi avons bien fait avancer le schmilblick.
Bonne recherche aux autres !

Posté par
LittleFox
re : Fractions égyptiennes 20-06-22 à 17:16


J'ai l'impression d'avoir triché

En prenant un préfix de la solution de Sylvieg et en donnant ça à manger à l'ordi, j'obtiens des solutions plus longues:

 Cliquez pour afficher


Tout ça pour un terme de plus ^^'

Posté par
Vassillia
re : Fractions égyptiennes 20-06-22 à 17:29

Bizarre, ton ordinateur t'a arnaqué, on peut avoir plus du double sur le nombre de termes par rapport à ce qu'il propose.

Posté par
LittleFox
re : Fractions égyptiennes 20-06-22 à 17:53


La formule de Sylvieg peut être généralisée:

\frac{1}{pq} = \frac{1}{p(p+q)} + \frac{1}{q(p+q)}

Et il y a 5 solutions de longueur 4 qui peuvent être réutilisée:

 Cliquez pour afficher


Et encore plus de longueur 5. Par exemple:
 Cliquez pour afficher

Posté par
LittleFox
re : Fractions égyptiennes 20-06-22 à 17:54

Vassillia @ 20-06-2022 à 17:29

Bizarre, ton ordinateur t'a arnaqué, on peut avoir plus du double sur le nombre de termes par rapport à ce qu'il propose.


En utilisant les 12 premier termes donnés?

Posté par
LittleFox
re : Fractions égyptiennes 20-06-22 à 18:13


D'après l'oeis: On peut aller jusqu'à 42 termes et le plus grand dénominateur serait 96.

Posté par
Vassillia
re : Fractions égyptiennes 20-06-22 à 18:26

D'accord pour 42 termes encore fait-il avoir une proposition qui tient la route, j'en ai une avec le plus grand dénominateur qui vaut 99.
En plus de la formule de Sylvieg, tu peux utiliser

\frac{1}{abc}=\frac{1}{a(ab+ac+bc)}+\frac{1}{b(ab+ac+bc)}+\frac{1}{c(ab+ac+bc)}
 \\

Posté par
LittleFox
re : Fractions égyptiennes 20-06-22 à 20:50


En utilisant des décompositions en au maximum 3 termes, j'obtiens une solution en 40 termes:

 Cliquez pour afficher


Le code:
 Cliquez pour afficher

Posté par
dpi
re : Fractions égyptiennes 21-06-22 à 06:54

Bonjour,
Pour ma part,j'abandonne  en félicitant le excellents participants.
Au départ on pensait qu'une dizaine serait le maximum ,puis.....
A noter que certains nombres premiers sont privés de participation :
13  19 23 37 43  alors que d'autres premiers sont dans le coup 3  5  7  11 .

Je vous encourage à aller voir mon évolution pythagoricienne  qui
surprend par le nombre de triangles qu'on peut accoler ....
Il y a là aussi des cotés sans avenir.

Posté par
Vassillia
re : Fractions égyptiennes 21-06-22 à 10:33

Je me trompe peut-être mais pense qu'il y a des cas de figure que tu ne prends pas en compte LittleFox dans ton code, avec tes notations :
[2,3,6]=[3,4,4,6]=[3,4,6,10,12,15]=[3,6,7,10,12,14,15,28] et c'est une partie de la décomposition que je connais avec 42 termes.
En fait on peut avoir ponctuellement des fractions égales tant qu'on arrive ensuite à les décomposer différemment.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Fractions égyptiennes 23-06-22 à 10:17

Bonjour,
De retour devant mon ordi

Bravo pour la solution à 40 termes de LittleFox !
Sans ordi, je suis restée loin du compte avec seulement 33 :
[10, 15, 16, 17, 18, 20, 21, 22, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 36, 40, 42, 44, 45, 48, 54, 55, 60, 66, 72, 77, 78, 85, 88, 90, 91, 96, 99]

Citation :
J'ai l'impression d'avoir triché
Mais non. Moi j'ai utilisé depuis le début le site de mathafou, puis une liste de dpi...

Je suis curieuse de voir la démonstration que 42 est le maximum.

Posté par
dpi
re : Fractions égyptiennes 23-06-22 à 11:18

Bonjour,
En excluant les18 nb premiers de 19 à  97 on aurait donc 42 sur 81
nombres jouables  pour le record donc moins de 1/2.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Fractions égyptiennes 23-06-22 à 11:35

"le site de mathafou"
en fait mon script est totalement inapproprié pour trouver une décomposition en plus de 7 fractions, et encore,..
la "force brute" s'épuise à ce jeu là.
(jusqu'à même planter le PC à la limite ...)
j'ai annoncé que j'allais y mettre un champ de limitation du dénominateur
c'est un très vieux script et j'ai même du mal à comprendre totalement comment j'avais fait, pour maintenant y insérer cette limitation là sans tout casser (et sans obtenir "0 solutions" quand il y en a ...)
à suivre ...

Posté par
LittleFox
re : Fractions égyptiennes 23-06-22 à 14:33

Vassillia @ 21-06-2022 à 10:33

Je me trompe peut-être mais pense qu'il y a des cas de figure que tu ne prends pas en compte LittleFox dans ton code, avec tes notations :
[2,3,6]=[3,4,4,6]=[3,4,6,10,12,15]=[3,6,7,10,12,14,15,28] et c'est une partie de la décomposition que je connais avec 42 termes.
En fait on peut avoir ponctuellement des fractions égales tant qu'on arrive ensuite à les décomposer différemment.


Il y a beaucoup de cas de figures que je ne prends pas en compte.
En fait je n'autorise que à décomposer un terme en 2 ou 3 termes. Et que les sommes avec des termes tous différents (même intermédiaires).
C'est beaucoup moins que toutes les décompositions possibles.
Aussi, je ne parcours que quelques branches les plus prometteuses (celles avec le plus de termes), je ne laisse pas mon algorithme finir sa recherche (et je doute qu'il la finisse en un temps raisonnable).
L'espace de toutes les sommes unitaires est beaucoup trop grand pour tout explorer. Déjà ainsi, il me faut plusieurs secondes pour sortir un résultat.

En partant de ta dernière fraction au lieu de [1], je trouve en effet une solution en 42 termes:
 Cliquez pour afficher


Mais même avec ton avant dernière, je suis coincé à 40 termes.

Ma stratégie n'est probablement pas la bonne, j'ai hate de découvrir la tienne
Et comme Sylvieg, je me demande comment peut-on prouver qu'il n'y a pas de solution avec plus de termes que 42.

Posté par
LittleFox
re : Fractions égyptiennes 23-06-22 à 15:05


Simplement en essayer de décomposer d'abord les termes avec les plus grand dénominateurs, j'obtiens une solution à 42 termes en partant de [1]

 Cliquez pour afficher

Posté par
ty59847
re : Fractions égyptiennes 23-06-22 à 15:44

Je voulais voir comment 17 apparaissait, et il manque les lignes 29, 33, 36, et 41 dans ton décompte.

Posté par
LittleFox
re : Fractions égyptiennes 23-06-22 à 15:54

Une vue de comment la solution a été générée:

 Cliquez pour afficher


Evidemment maintenant que j'en ai générée une, je peux en générer plein :
 Cliquez pour afficher

Je n'en ai encore trouvée qu'une avec comme plus grand terme 96. Et aucune avec plus de 42 termes.

La dernière version de mon code est disponible ici:

Posté par
LittleFox
re : Fractions égyptiennes 23-06-22 à 15:55

Si une ligne manque c'est simplement qu'on a décomposé en 3 termes sautant ainsi la ligne avec un terme de plus.

Posté par
LittleFox
re : Fractions égyptiennes 23-06-22 à 15:56

Et donc 1/10 = 1/17 + 1/34 + 1/85

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Fractions égyptiennes 23-06-22 à 16:16

Barvo LittleFox
Je me suis contentée de vérifier la ligne 42.

Je réponds aussi à ty59847 :
La ligne 29 n'est pas écrite car elle comporte deux fois l'entier 18.
Pour obtenir la ligne 30, un des 18 est remplacé par 22 et 99.

Une nouvelle formule cachée derrière :

\dfrac{1}{n} = \dfrac{1}{2n} + \dfrac{1}{2(2+n)} + \dfrac{1}{n(2+n)}  \;

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Fractions égyptiennes 23-06-22 à 16:19

Messages croisés...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Fractions égyptiennes 23-06-22 à 16:51

Ce qui intrigue, c'est de faire apparaître des entiers premiers.

17 = 52 + 5 + 2 donne 17/10 = 1 + 1/2 + 1/5.
D'où 1/10 = 1/17 + 1/34 + 1/85.

De même 19 = 43 + 3 + 4 donne 1/12 = 1/19 + 1/(319) + 1/(419).

On peut aussi le trouver à partir de la formule de Vassillia

\dfrac{1}{abc}=\dfrac{1}{a(ab+ac+bc)}+\dfrac{1}{b(ab+ac+bc)}+\dfrac{1}{c(ab+ac+bc)}
 \\
en y remplaçant c par 1 :

\dfrac{1}{ab}=\dfrac{1}{a(ab+a+b)}+\dfrac{1}{b(ab+a+b)}+\dfrac{1}{ab+a+b}
 \\
ab+a+b peut être premier.

Posté par
derny
re : Fractions égyptiennes 23-06-22 à 17:31

Bonsoir
J'avais posé exactement ce même problème dans "Tangente N°67" en 1999. Les 42 fractions avaient été trouvées avec dénominateur inférieur à 100 et 1/12 est la plus grande fraction possible parmi les 42 ce qu'a d'ailleurs indiqué LittleFox.

Posté par
dpi
re : Fractions égyptiennes 24-06-22 à 07:24

Contrairement à ce que je disais,les premiers sont utilisables à dose homéopathique..

Comme d'habitude ,Littlefox nous impressionne

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