Bonjour,

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On en trouve environ 10%
Par exemple  4/15=1/10+1/6
4/21=1/21+1/7
4/35=1/15+ 1/21
On trouve bien sûr tous les  a=b
genre  4/24=1/12+1/12
Quelques premiers
genre 4/11=1/3+1/33

Suite

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On peut trouver pratiquement tous les n suivants:
*tous les pairs                                    
*tous les multiples de 3             4/30 =1/12+1/20          
*les multiples de 5 (sauf 5)      4/45= 1/18+1/30
*les premiers 7 et 11

*pas trouvé les autres premiers
* 49  77  91

dpi

ton 10% m'étonne un peu.

Si on teste les entiers de 1 à 100 il y en a 85 qui conviennent.

De 1 à 10^6 il y en a plus de 91%.

nos réponses se sont croisées...

bonjour

voici quelques exemples  :

1/33 + 1/3 = 4/11  
1/6+1/3=4/8
1/15+1/3=4/10

salut

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4ab est pair donc a + b est pair (et même multiple de 4) donc a et b ont même parité

ha ben non ma conclusion est fausse d'après le deuxième de flight

Ma réponse de 16h25 donne les cas favorables..

ce probleme est assez simple  
on pose   n = 4ab/(a+b) puis on donne des valeurs à b en commancant par b = 1  on a  n = 4a/(a+1)   puis il suffit de voir avec les diviseurs de 4  , puis = 2  et on a  n = 8a/(a+2)  , puis il suffit de voir avec les diviseurs de 8  ...etc

@dpi

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OK pour les pairs, les multiples de 3, pour 7,11,49,77,91

Par contre, il y a des multiples de 5 qui ne s'écrivent pas sous la forme , par exemple 25 et 65.

Deux suggestions:
Il y a beaucoup de multiples de 7 parmi les exemples que tu as donnés. On ne pourrait pas avoir le même résultat que pour 3 ?

C'est une bonne idée d'examiner ce qui se passe pour les nombres premiers. Je pense que tu as conclu correctement pour 3,5,7,11,13,17.
As-tu essayé pour 19 ?

@carpediem

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Il est exact que est multiple de 4 lorsque est impair.
Je me suis servi de ce résultat pour résoudre l'exercice.

@flight

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D'abord, il y a une petite erreur dans ton raisonnement.
Lorsque   n = 8a / (a+2)  , il suffit de raisonner avec les diviseurs de 16.

Ensuite, cela permettra de trouver, b étant fixé, une condition nécessaire et suffisante sur a pour que soit de la forme :  il faut et il suffit que a+b soit un diviseur de .

Mais cela ne permet pas de répondre à la question que j'ai posée.

Bonjour perroquet.. Je n'ai pas écris que si n=8a/(a+2) alors il faut raisonner avec les diviseurs de 16 mais de 8 😊

Bonjour,

je n'ai rien trouvé pour  19.
Par contre pour 49 :   4/49 = 1/14+1/98

Bonjour,
4/19 - 1/5 = ...

Bonjour,

par programme en quelque lignes, ce n'est pas très drôle .

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pour n premiers < 100 :

4/7 = 1/2 + 1/14
4/11 = 1/3 + 1/33
4/19 = 1/5 + 1/95
4/23 = 1/6 + 1/138
4/31 = 1/8 + 1/248
4/43 = 1/11 + 1/473
4/47 = 1/12 + 1/564
4/59 = 1/15 + 1/885
4/67 = 1/17 + 1/1139
4/71 = 1/18 + 1/1278
4/79 = 1/20 + 1/1580
4/83 = 1/21 + 1/1743
12 valeurs de n premier solutions
impossible pour [5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97]
(et évidement pour n = 2 et 3 vu que 4/2 et 4/3 > 1 !)

pour tous les entiers de 4 à 99 :
82 valeurs de n solutions
impossible pour [5, 13, 17, 25, 29, 37, 41, 53, 61, 65, 73, 85, 89, 97]
dans laquelle on a ajouté les nombres composés 25 = 5*5, 65 = 5*13 et 85=5*17

suggérant la conjecture :

si 4/a et 4/b n'ont pas de décompositions, alors 4/(ab) non plus.

@mathafou

je suis d'accord avec toi sauf pour et .

Il y a exactement valeurs de inférieures à pour lesquelles c'est impossible de trouver et .

certes, 4/2 = 2 = 1/1 + 1/1 et 4/3 = 1/1 + 1/3
la fraction 1/1, bof
quant à 4/1 ... elle est effectivement impossible

ty59847

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et pour généraliser : :

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et le deja dit

seuls sont donc à étudier les nombres n de la forme 4k+1
s'ils sont premiers on devrait prouver qu'ils ne conviennent pas

s'ils sont composés :
si n = 3 [4] et m aussi, alors mn = 1 [4}
4/n = 1a + 1/b



il suffit donc que n = 4k+1 possède au moins un facteur (premier) de la forme 4k+3
(évidemment "k" étant ici une lettre muette, "de la forme..." )

les nombres (composés ou pas) produits exclusivement de facteur(s) premier(s) de la forme 4k+1 seraient donc impossibles
et ce serait les seuls

jusqu'à 1000, les nombres composés de la forme 4k+1 impossibles sont
[25, 65, 85, 125, 145, 169, 185, 205, 221, 265, 289, 305, 325, 365, 377, 425, 445, 481, 485, 493, 505, 533, 545, 565, 625, 629, 685, 689, 697, 725, 745, 785, 793, 841, 845, 865, 901, 905, 925, 949, 965, 985]

reste à démontrer (rigoureusement) l'affirmation de ty59847 :
les nombres premiers de la forme 4k+1 sont tous impossibles.

mathafou,

tu y es presque, la démonstration tient en une ligne (si on met l'équation sous la bonne forme).

Une autre manière de généraliser le cas n pair :

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4/2p = 2/p = 1/p + 1/p
Mais a = b est-il accepté ?

Sylvieg

la question posée par perroquet ne l'interdit pas !

Effectivement :

Citation :

Bonsoir,

On a vu que tous les n pairs  ou multiples de 3 ont des solutions
ainsi que 80% des multiples de 5 et de7
la moitié des premiers aussi
Ainsi les exceptions sont minoritaires  ...

Remarque
Certains n sont favorisés ainsi 120  a au moins 20 solutions ..

jandri
"tient en une ligne "
tu exagères un peu , mais oui, c'est bon

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4/p = 1/a + 1/b s'écrit 4ab = p(a+b)
p premier impair divise donc a ou b disons a = pa'
4a'b = pa'+b s'écrit (4a'-1)b = pa'
a' premier avec 4a'-1 divise b = a'b'
(4a'-1)b' = p
l'un des deux 4a'-1 ou b' est égal à p et l'autre est égal à 1
4a'-1 = 1 est impossible
donc c'est 4a' -1 = p = 4k+1 donne 4a' = 4k+2 impossible

on remarque que avec p = 4k+3, 4a' - 1 = 4k+3 donne a' = k+1 et donc a = (k+1)(4k+3) et la décomposition déja donnée pour ce cas 4k+3 est alors unique si 4k+3 premier
(sinon, 4k+3 non premier, il peut y avoir plusieurs décompositions)

120 =2³ *3*5 = p³*q*r avec p,q,r premiers.
Est-ce que tous les nombres de la forme  p³*q*r avec p,q,r premiers auraient par hasard le même nombre de décompositions ?

Ou peut être uniquement les nombres de la forme 2³*q*r ?
Ou peut être uniquement les nombres de la forme 2³*q*r avec q premier de la forme 4k-1 et r premier de la forme 4k+1 ???

"120 a au moins 20 solutions .."
??
sauf erreur de ma part :

1/60 +1/60 = 4/120
1/55 +1/66 = 4/120
1/50 +1/75 = 4/120
1/48 +1/80 = 4/120
1/45 +1/90 = 4/120
1/42 + 1/105 = 4/120
1/40 + 1/120 = 4/120
1/39 + 1/130 = 4/120
1/36 + 1/180 = 4/120
1/35 + 1/210 = 4/120
1/34 + 1/255 = 4/120
1/33 + 1/330 = 4/120
1/32 + 1/480 = 4/120
1/31 + 1/930 = 4/120
14 solutions

2 programmes indépendants me donnent ce même résultat :
Un vieux écrit jadis en JavaScript pour le cas général p/q
Le dernier écrit hier pour l'occasion des 4/n en Python,
méthodes différentes

edit PS : bien sur a et b sont interchangeables et c'est la même solution 1/a + 1/b ou 1/b + 1/a
c'est peut être comme ça que tu en trouves 27 ?

mathafou

ma démonstration tient bien en une ligne (après avoir mis l'équation sous la bonne forme) et elle ne se limite pas aux nombres premiers :

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j'écris l'égalité sous la forme

si alors se factorise en un produit de deux entiers congrus à modulo

Le cas de 120 est particulier, c'est un multiple de .

Pour multiple de on peut écrire avec les premiers et le nombre de couples est égal à

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Absolument pas convaincu par :

Citation :
si alors se factorise en un produit de deux entiers congrus à modulo

Si 4/n=1/a+1/b , alors 4ab-n(a+b)=0
Calculons (4a-n)(4b-n) ...  plein de trucs s'annulent grâce à l'égalité ci-dessus, et on trouve n²
Donc effectivement, n² se factorise en (4a-n)(4b-n), qui sont 2 entiers de la forme 4k-1 quand n est de la forme 4k'+1.

je vois, en fait c'est à l'envers
on ne part pas de n², mais de 4a-n et 4b-n
j'annule mon mon objection.

>mathafou
Pour 120 ,j'ai un peu exagéré  car j'ai sommé un tableau avec ses symétriques...

Bonjour,
Je propose une synthèse puis une question.

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1) Si l'entier n n'est pas de la forme 4k+1 alors les entiers a et b existent.
2) Si l'entier n est de la forme 4k+1, il y a deux cas.
a) 1er cas :
L'entier n a au moins un diviseur de la forme 4k+3 alors les entiers a et b existent.
b) 2nd cas :
L'entier n n'a aucun diviseur de la forme 4k+3. On ne peut alors pas écrire 4/n sous la forme 1/a +1/b.

Démonstration :
1)a) Si n est pair.
n = 2q et 4/2q = 1/q +1/q

1)b) Si n = 4k+3.
4/(4k+3) = 1/(k+1) + 1/((k+1)(4k+3))

2)a) n = (4k+3)q.
4/(4k+3) = 1/a' + 1/b' d'après 1)b). D'où 4/n = 1/(a'q) + 1/(b'q).

2)b) Ou n = 1 ou les facteurs premiers de l'entier n sont tous de la forme 4k+1.
Les diviseurs de l'entier n² sont donc tous de la forme 4k+1.
4/n = 1/a + 1/b (4a-n)(4b-n) = n²
L'entier 4a-n est de la forme 4k+3 et ne peut donc diviser l'entier n².
Les égalités sont donc toujours fausses.

Question : Comment savoir si on est dans le 1er ou le 2nd cas sans faire de décomposition en facteur premier ?
Par exemple pour 10001 ou 18001 ?

Bonjour Sylvieg,

c'est très bien pour ta démonstration.

Pour ta question, on est dans le premier cas si et seulement si peut s'écrire comme une somme de deux carrés premiers entre eux comme par exemple .

C'est aussi équivalent à : il existe un entier tel que .

Pour je ne vois pas plus rapide que de le diviser par les nombres de la forme pour trouver qu'il est divisible par .

Ce n'est pas ma démonstration, mais une synthèse de ce qui a été fait auparavant par d'autres

Et il manque quelque chose dans 2)b) :
si 4/n = 1/a + 1/b avec a et b entiers naturels alors 4a > n et 4b > n.

Que se passe-t-il si on modifie la question de départ comme ci-dessous ?

Citation :
Quels sont les entiers naturels non nuls pour lesquels on peut trouver deux entiers relatifs et tels que

?

>Sylvieg

Ton idée est amusante;

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par exemple   4/944 = 1/62+1/-93
Je peux te donner quelques n

Quelques uns

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D'abord je corrige  4/744=1/62+1/-93
4/21=1/5+1/-105
4/26 =1/6+1/-78
4/30=1/7+1/-105
4/39=1/9+1/-117

4/2175=1/75+1/-87

En fait ce qui est intéressant, ce sont les n pour lesquels il n'y a pas de solution avec a et b dans *.
Comme 17 ou 177 ou encore 10001.

@Sylvieg

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en fait je pense que tout provient de la division m = qn + r pas nécessairement euclidienne d'un entier non nul m par un entier non nul n

alors en divisant par mn    

ensuite en prenant des cas particulier on tombe sur le résultat demandé

ainsi ici en remplaçant m par 4m on obtient    

maintenant en remplaçant m par 2m + 3 et n par 4n + 5 on obtient  

si q et r sont donnés on doit pouvoir remonter à l'envers "convenablement" ...

Bravo perroquet