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Fractions rationnelles, DES dans C(X)

Posté par
wakeii 19-01-19 à 20:33

Bonjour,
Il m'a été demandé de décomposer en éléments simples la fraction suivante dans C(X):
F=X2 /(X2+1)2010
j'ai immédiatement essayé l'introduction de eln, mais je ne suis pas sur que ce soit la bonne démarche à suivre.
Merci pour toute aide!

Posté par
carpediemre : Fractions rationnelles, DES dans C(X) 19-01-19 à 21:08

salut

introduire quoi ? ... mais c'est du grand n'importe quoi !!!

quelles sont les racines de x^2 + 1 ?

peut-être serait-il utile de lire un cours ...

Posté par
wakeiire : Fractions rationnelles, DES dans C(X) 19-01-19 à 22:43

merci mais j'ai déjà relu ma leçon...
il est tout naturel de penser au racines et c est aussi fait.
Mais si je viens poser ma question ici, c'est parce que la puissance 2010 me gène.
Et je m'excuse si je fais du "grand n'importe quoi".

Posté par
carpediemre : Fractions rationnelles, DES dans C(X) 19-01-19 à 22:49

f(x) = x^2 \sum_1^{2010} \left(\dfrac a {(x - i)^k} + \dfrac {\bar a} {(x + i)^k} \right) puisque f est réelle ...

Posté par
wakeiire : Fractions rationnelles, DES dans C(X) 19-01-19 à 23:00

Très bien, je vous remercie beaucoup pour votre aide

Posté par
carpediemre : Fractions rationnelles, DES dans C(X) 19-01-19 à 23:17

bien sur à toi de trouver les complexes ... à indicer bien sur il sont distincts !!!

carpediem @ 19-01-2019 à 22:49

f(x) = x^2 \sum_1^{2010} \left(\dfrac {a_k} {(x - i)^k} + \dfrac {\bar {a_k}} {(x + i)^k} \right) puisque f est réelle ...

Posté par
lafol Moderateurre : Fractions rationnelles, DES dans C(X) 19-01-19 à 23:54

Bonsoir
vu que x² = (x²+1) - 1, on a :

\dfrac{x^2}{(x^2+1)^{2010}} = \dfrac{1}{(x^2+1)^{2009}} - \dfrac{1}{(x^2+1)^{2010}}

ça c'est pour la décomposition dans R

reste à jouer avec 1 = [i(x-i)-i(x+i)]/2 pour passer de R à C

Posté par
luzakre : Fractions rationnelles, DES dans C(X) 20-01-19 à 15:14

Bonjour et ... désolé carpediem et lafol !
Je ne vois aucun moyen d'exploiter vos indications ! Si vous avez trouvé le moyen d'aller plus loin, merci pour vos lumières.

A mon avis la voie connue consiste à poser X=Y+\mathrm{i} puis \dfrac1{(X^2+1)^n}=\dfrac1{Y^n(2\mathrm{i}+Y)^n} et faire la division de 1 par 2\mathrm{i}+Y suivant les puissances croissantes pour avoir la partie polaire relative à \mathrm{i}.
Mais cette division étant devenue un mythe il faut essayer de contourner sa connaissance ce qui est facile puisqu'on peut tout ramener au calcul de \dfrac1{(1-Z)^n}.

Deux possibilités :
1. Soit calculer par récurrence sur p les coefficients tels que \dfrac1{(1-Z)^p}=\sum_{0\leqslant k\leqslant n}a_{k,p}Z^k+Z^{n+1}R_p(Z),\;R_p étant une fraction rationnelle sans le pôle 0.
Pas très difficile puisque c'est la formule de somme de suite géométrique pour p=1 et un peu de bagarre avec les coefficients binomiaux pour l'hérédité de récurrence.

2. Soit utiliser f : x\mapsto\dfrac1{(1-x)^n} qui est C^{\infty} sur [0,1[.
Le reste de la formule de Taylor d'ordre n : R(x)=f(x)-\sum_{0\leqslant k\leqslant n}\dfrac{f^{(k)}(0)}{k!}z^k est une fraction rationnelle et 0 en est un zéro d'ordre n+1 au moins (penser à la formule de Taylor-Young).
Cette fois les coefficients sont faciles à calculer.

Revenant alors à la formule du début :

\dfrac1{(X^2+1)^n}=\dfrac1{(2\mathrm{i})^nY^n}\sum_{0\leqslant k\leqslant n}a_k\dfrac{(-Y)^k}{(2\mathrm{i})^{k}}+Y^{n+1}R_n(Y) =\sum_{0\leqslant k\leqslant n}a_k\dfrac{(-1)^{n-k}}{(2\mathrm{i})^{2n-k}(X-\mathrm{i})^k}+K(X),\;K étant une fraction sans pôle \mathrm{i}.

................
La différence proposée par lafol permet de terminer le calcul.

.....................
Le X^2 du numérateur m'intrigue ! J'ai pensé utiliser \dfrac X2\,\dfrac{2X}{(X^2+1)^n} et faire une intégration par parties mais n'ai rien trouvé d'utilisable...

Posté par
carpediemre : Fractions rationnelles, DES dans C(X) 20-01-19 à 17:20

je n'ai pas dit que c'était facile ...

carpediem @ 19-01-2019 à 22:49

f(x) = x^2 \sum_1^{2010} \left(\dfrac {a_k} {(x - i)^k} + \dfrac {\bar {a_k}} {(x + i)^k} \right) puisque f est réelle ...
et f est paire donc

f(x) = \dfrac {x^2} {(1 + x^2)^{2010}} = x^2 \sum_1^{2010} \left(\dfrac {a_k} {(x - i)^k} + \dfrac {\bar {a_k}} {(x + i)^k} \right) = f(-x) = x^2 \sum_1^{2010} \left(\dfrac {a_k} {(-x - i)^k} + \dfrac {\bar {a_k}} {(-x + i)^k} \right) = x^2 \sum_1^{2010} \left(\dfrac {(-1)^ka_k} {(x + i)^k} + \dfrac {(-1)^k\bar {a_k}} {(x - i)^k} \right)

si k est pair on en déduit que a_k = \bar {a_k} => a_k \in \R

si k est impair on en déduit que a_k = - \bar {a_k} => a_k \in i \R

Posté par
lafol Moderateurre : Fractions rationnelles, DES dans C(X) 21-01-19 à 00:04

mais tu en fais quoi, de ton x², carpi ?


et oui, j'ai complètement zappé que c'était des différences, qu'il me restait à mettre aux puissances 2009 et 2010, hier .... j'avais plus les yeux en face des trous !

Posté par
carpediemre : Fractions rationnelles, DES dans C(X) 21-01-19 à 14:48

je développe x^2 que j'écris :

x^2 = (x - i + i)^2 = (x - i)^2 + 2i(x - i) - 1 pour les fractions de dénominateur (x - i)^k

x^2 = (x + i - i)^2 = (x + i)^2 - 2i(x + i) - 1 pour les fractions de dénominateur (x + i)^k

et quand j'ai trouvé la somme alors :

f(x) = x^2 \sum_1^{2010} \left( \dfrac {a_k} {(x - i)^k} + \dfrac {b_k} {(x + i)^k} \right) = \sum_1^{2010} \left( a_k \dfrac {(x - i)^2 + 2i(x - i) - 1} {(x - i)^k} + b_k \dfrac {(x + i)^2 - 2i(x + i) - 1} {(x + i)^k} \right) = ...

Posté par
carpediemre : Fractions rationnelles, DES dans C(X) 21-01-19 à 15:05

g(x) = \dfrac 1 {(x^2 + 1)^{2010}} \iff 2ig(x) = \dfrac {(x + i) - (x - i)} {(x - i)^{2010}(x + i)^{2010}}

\dfrac {x + i} {(x - i)^{2010}(x + i)^{2010}} = \dfrac 1 {(x - i)^{2010} (x + i)^{2009}} =

on écrit alors que 1 = -i^2 = -i(i + x) + ix puis on simplifie

pour le premier terme -i = -i \times 1 et on écris que 1 = ...

pour le deuxième terme on écris que ix = i(x + i) + 1 puis on simplifie

et on recommence 2008 fois pour se débarrasser des puissances de x + i

puis on recommence 2010 foi pour se débarrasser des puissances de x - i

enfin faut voir ...

puis enfin on multiplie par x^2 comme dans mon msg précédent ...


et ça roule ma poule ...


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