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Fractions rationnelles et DL
Bonjour à tous! J'ai un petit soucis sur un exercice. Je pense avoir trouvé un bon truc pour le résoudre, mais bon je suis pas trop a l'aise sur ce type d'exos donc je voudrais savoir si les propos que j'avance sont corrects ou non, et si je suis assez précis dans mes justifications
Soit a 
K un pole d'ordre de multiplicité h 
2 de F K(X)\{0}, avec Q(a)
0 et A(a) 0
On a la partie polaire de F relative à a. La question est de prouver que lorsque l'on est dans R(X) , on peut récupérer les coefficients
en effectuant un DL à l'ordre h - 1 de la fonction associée à
Voila ce que j'ai fait :
On sait qu'on a avec P(X) la décomposition en éléments simples des autres poles de F
On multiplie alors par
On a alors
Si on fait un DL de la partie gauche en a à l'ordre h-1 on a :
On fait également un DL de A(x)/Q(x) :
avec la formule de Taylor Young
Par changement de variable dans la somme on a :
Par unicité du DL, on a alors qqsoit k dans [|1;h|]
voila! J'espere que c'est correct. Y a t'il moyen d'etre plus précis ? (Je sais par exemple que l'on peut récupérer facilement le coefficient devant la pole de degré h)
Merci d'avance =)
C'est le moyen habituel de procéder pour calculer le développement limité à l'ordre voulu d'une fraction rationnelle.
Voir 
Je ne suis pas vraiment certain d'avoir compris la démonstration de ce théorème mais bon.. En quoi cela pourrait m'etre utile pour ma démo?
Sur ta démonstration, il y a éventuellement des petits détails à préciser (dire par exemple que P(a) est bien définie et continue en a), mais en gros ça va. Par ailleurs sur le procédé d'obtention du DL, Taylor-Young n'est sûrement pas la bonne idée. C'est pour cela que je mentionnais la division suivant les puissances croissantes.
Ah d'accord. En fait j'utilise uniquement taylor young comme argument théorique. Je veux dire que notre fonction A(x)/Q(x) est de classe C infini sur un certain voisinage de a (car a n'est pas racine de Q) et il en va de même pour P(x)
Taylor Young me permet alors de justifier l'existence de mes ci, mais je n'ai pas pour but de les expliciter (sinon jamais je ne passerai par la dans la pratique ^^), ce qui me permet donc d'arriver à mon résultat. Sinon effectivement les puissances croissantes ont l'air intéressantes dans la pratique, merci de m'avoir montré ce résultat =)
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