Niveau Licence Maths 1e ann

Fréchet-Von Neumann-Jordan

Posté par
Saiga 15-04-15 à 20:38

Bonjour,

Je tente de montrer le théorème de Fréchet-Von Neumann-Jordan, c'est-à-dire :

Soit $(E,\left\|\cdot\right\|)$ un evn.

Alors $E$ est un espace prehilbertien si et seulement si sa norme verifie l'identite du parallelogramme.

Le sens $\Rightarrow$ est clair!

En ce qui concerne l'autre sens $\Leftarrow$ je raisonne par analyse synthèse.

J'ai trouvé pendant l'étape d'analyse que : $\left\langle \cdot,\cdot \right\rangle : E^2 \rightarrow \mathbb{C}$ par : $\left\{\begin{matrix}\mathfrak{Re}(\left\langle x,y \right\rangle)&=&\cfrac{1}{4}\left(\left\|x+y\right\|^2-\left\|x-y\right\|^2\right)\\ \left\langle x,y\right\rangle &=&\mathfrak{Re}(\left\langle x,y \right\rangle)-i\mathfrak{Re}(\left\langle ix,y \right\rangle) \end{matrix}\right.$

Ensuite je vérifie que cette application vérifie les axiomes de la définition du produit scalaire...

(1) Montrons que : $\left\langle x,x\right\rangle=0 \Leftrightarrow x=0$ . Supposons que : $\left\langle x,x\right\rangle=0$ , avec $x \in E$ .

Alors :

$\frac{1}{4}\left(\left\|x+x\right\|^2-\left\|x-x\right\|^2\right)-\frac{i}{4}\left(\left\|x+x\right\|^2-\left\|x-x\right\|^2\right)=0$

$\Leftrightarrow\frac{1}{4}\left\|2x\right\|^2-\frac{i}{4}\left\|2x\right\|^2=0$

$\Leftrightarrow\left\|x\right\|^2-i \left\|x\right\|^2 =0$

$\Leftrightarrow \left\|x\right\|=0$

$\Leftrightarrow x=0$

(2) Montrons que : $\left\langle x,x\right\rangle \in \mathbb{R}_+$ , avec $x \in E$ .
$\\ \left\langle x,x\right\rangle = \left\|x\right\|^2-i \left\|x\right\|^2 = \left\|x\right\|^2+ i^3 \left\|x\right\|^2= \left\|x\right\|^2+ \left\|i^{\frac{3}{2}} \cdot x\right\|^2 \geq 0 .$

Et par définition de $\left|\cdot\right\|$ , on a que : $\left\langle x,x\right\rangle \in \mathbb{R}_+$ .

Et maintenant je dois montrer que :

(3) $\left\langle y,x\right\rangle= \overline{\left\langle x,y\right\rangle}$ .

(4) \left\langle \cdot, \cdot \right\rangle est sesquilinéaire.

Mais là je bloque totalement, je n'est que des inégalités...

Posté par re : Fréchet-Von Neumann-Jordan 16-04-15 à 12:33

Bonjour !
Soit $\Phi(x,y)=\Bigl\lVert{\dfrac{x+y}2\Bigr\rVert^2-\Bigl\lVert\dfrac{x-y}2\Bigr\rVert^2$ (c'est la partie réelle du produit hermitien que tu proposes).
Tu commences par montrer que $\Phi$ est $\R-$ bilinéaire symétrique avec les étapes suivantes :
$\Phi$ symétrique.
$\forall(x,y)\in E^2,\;\Phi(2x,y)=2\Phi(x,y)$ (définition de $\Phi$ et relation du parallélogramme).
$\forall(x_1,x_2,y)\in E^3,\;\Phi(x_1+x_2,y)=\Phi(x_1,y)+\Phi(x_2,y)$ (utiliser la question précédente en introduisant $2x_1,\;2x_2$ ).
$\forall(\alpha,x,y)\in \R\times E\times E,\;\Phi(\alpha x,y)=\alpha \Phi(x,y)$ (dans l'ordre : $\alpha\in\N,\;\alpha\in\Z,\;\alpha\in\Q,\;\alpha\in\R$ en utilisant la continuité de $x\mapsto\Phi(x,y)$ ).

Ensuite prendre le produit hermitien que tu proposes et montrer la propriété de conjugaison et la propriété de multiplication par $i$ .

Posté par re : Fréchet-Von Neumann-Jordan 16-04-15 à 17:32

Ok, merci et pas d'objections avec mes deux premiers points?

Posté par re : Fréchet-Von Neumann-Jordan 16-04-15 à 18:23

Bonsoir !
Aucune objection ! Mais tu retrouves ces résultats en montrant que tu as une forme hermitienne.

Posté par re : Fréchet-Von Neumann-Jordan 16-04-15 à 19:00

Bonsoir,

Ok mais c'est justement le but, montrer que c'est sesquilinéaire, puis hermitien et au final qu'on ait un produit scalaire.

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